Giải toán 11 Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Góc thân thiết nhì mặt mũi phẳng
Định lí: Gọi s là diện tích S của nhiều giác H vô mặt mũi phẳng lặng (P) và S' là diện tích S hình chiếu H' của H bên trên mặt mũi phẳng lặng (P’) thì S' = s costp, vô cơ ọ là góc thân thiết nhì mặtphẳng (P) và (P').
Hai mặt mũi phẳng lặng vuông góc
Định nghĩa: Hai mặt mũi phẳng lặng gọi là vuông góc cùng nhau nếu như góc thân thiết bọn chúng vì chưng 90". Kí hiệu (P) _L (Q).
Định lí (Điều khiếu nại đế nhì mặt mũi plĩẳng vuông gác)
Nêu một phía phẳng lặng có một đường thẳng liền mạch vuông góc với một
Định nghĩa: Góc thân thiết nhì mặt mũi phẳng lặng là góc thân thiết hai tuyến phố trực tiếp theo thứ tự vuông góc với nhì mặt mũi phăng cơ.
■(P)l(Q)
mặt phắng không giống thì nhì mặt mũi phắng cơ vuông góc cùng nhau. íac(P).
[a±(Q):
Định lí: Nếu nhì mặt mũi phẳng lặng (P) và (Q) vuông góc cùng nhau thì bất kể đường thẳng liền mạch nào là trực thuộc mặt mũi phẳng lặng (P), vuông góc với phú tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt mũi phẳng lặng (Q).
(p)n(ọ) = d; (P)±(Q)
al(Q)
a ±d
Hệ trái ngược 1: Nếu nhì mặt mũi phẳng lặng (P) và (Q) vuông góc cùng nhau và A là 1 điểm ở tron; trực thuộc (P).
(P)l(Q)
■ac(P)
Ae(P)
al(Q)
Aea
Hệ qua quýt 2: Nếu nhì mặt mũi phẳng lặng tách nhau và nằm trong vuông góc với mặt mũi phẳng lặng loại tía thì phú luyến của bọn chúng vuông góc với mặt mũi phẳng lặng loại tía.
(P)n(Q) = a
(P)	-L(R)
(Q)	l(R)
• a 1 (R)
r- - <§]
Hệ ÌỊUCÍ 3: Qua đường thẳng liền mạch a ko vuông góc với mặt mũi phẳng lặng (P) đem duy nhát một phía phẳng lặng (Q) vuông góc với mặt mũi phẳng lặng (P).
Hình lãng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương
Định nghĩa:
Hình lănị’ trụ đứnị’:
Là hình lăng trụ đem cạnh mặt mũi vuông góc với mặt mũi phẳng lặng lòng.
Hình lănịỊ trụ đều:
Là hình lăng trụ đứng đem lòng là nhiều giác đều
Hình vỏ hộp đứnịỊ:
Là hình lăng trụ đứng đem lòng là hình bình hành.
Hình vỏ hộp chữ nhật:
Là hình vỏ hộp đứng đem lòng là hình chữ nhật.
Hình lập phương:
Là hình vỏ hộp chữ nhật đem toàn bộ những cạnh đều bằng nhau.
Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
B
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu như lòng của chính nó là nhiều giác đều và những cạnh mặt mũi đều bằng nhau.
->D
Định nghĩa: Khi tách hình chóp
đều vì chưng một phía phẳng lặng song
song với lòng sẽ được một hình
chóp cụt thì hình chóp cụt đó
được gọi là hình chóp cụt đều.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Cho tía mặt mũi phẩng («), (p), (y). những mệnh đề nào là sau I
Nếu (a) 1 (p) và (có // (y) đua (P) ± (y).
Nếu (a) 1 (P) và (a) 1 (y) thì (p) // (y).
("Cm Lời: a) Đúng; b) Sai.
Cho nhì mật phung (ơ) và (P) vuông góc vói nhau. Người tao lấy bên trên phú tuyến A của nhì mặt mũi phẫng đó
hai điểm A và B sao cho tới AB = s centimet. Gọi c là 1 điểm bên trên (a) và D là 1 điểm bên trên (P) sao cho tới AC và
BD nằm trong vuông góc với phú tuyên A và AC = 6 centimet, BD = 24 centimet. Tính chừng tlài đoạn CD.
Ốịiẳl
(a) 1 (p) và CA 1 A => CA 1 íp)
=> CA 1 DA nên AADC vuông ở A.
DB 1 A
=> DB ± AB => ABAD vuông ở B.
Do đó: CD2 = AD2 + AC2 = BD2 + AB2 + AC2
= 242 + 82 + 62 = 676
=> CD = 26 (cm).
Trong mặt mũi phẳng lặng (ct) cho tới tam giác ABC vuông ("I B. Một đoạn trực tiếp AD vuông góc với (a) bên trên A. Chứng
minh rằng:
ABD là góc thân thiết nhì mật phẵng (ABC) và (DBC).
Mặt phẳng lặng (ABD) vuông góc vời mặt mũi phăng (BCD).
HK // BC vđi H và K theo thứ tự là phú điểm của DB và DC vói mặt mũi phẳng lặng (P) trải qua A và vuông góc
vời DB.
A,
A.
A-,
ỐỊiải
Ta có: AD 1 (ABC) => AD 1 BC, nhưng mà BC ± AB nên BC 1 (ABD) => BC 1 BD.
ÍAB1BC
Ta có:	=> ABD là góc giữa
[BD1BC
hai mặt mũi phẳng lặng (ABC) và (DBC).
Vì BC 1 (ABD) nên (BCD) 1 (ABD).
DB 1 (AHK) bên trên H nên DB 1 HK.
Trong mặt mũi phẳng lặng (BCD) tao đem HK ± BD và BC 1 BD vì thế HK // BC.
Cho nhì mặt mũi phẫng (a), (P) tắt nhau và một điểnt M ko nằm trong (a) và ko nằm trong (p). Chứng minh rằng qua quýt điểm M mang trong mình 1 và chí một phía phẳng lặng (P) vuông góc với (a) và (P). Nếu (a) tuy nhiên song vơi (P) thì thành quả bên trên tiếp tục thay cho thay đổi như vậy nào
ốỊiải
Gọi a = (a) n (P). Gọi (P) là mặt mũi phẳng lặng trải qua M và vuông góc với a.
Vì a c (a) và a 1 (P) nên (P) ± (a). Tương tự động tao chứng tỏ được (P) ± (P). Như vậy qua quýt điểm M xuất hiện phẳng lặng (P) vuông góc với (a) và (p).
Ngược lại nếu như xuất hiện phẳng lặng (P) trải qua điểm M và (P) vuông góc với (a) và (p) thì tao suy đi ra (P) ± a. Do tính độc nhất của mặt mũi phẳng lặng trải qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng liền mạch a nên mặt mũi phẳng lặng (P) là duy nhát.
Nếu (a) // (P), tao gọi d là đường thẳng liền mạch trải qua M và vuông góc với (a). Khi cơ tao đem d 1 (P) và từng mặt mũi phẳng lặng (P) chứa chấp d đều vuông góc với (a) và (p). Vậy Khi (a) // (P) đem vô số mặt mũi phẳng lặng (P) trải qua M và vuông góc với (ct) và (P).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
Mặt phẵng (AB'C'D) vuông góc vơi mặt mũi phẵng (BCD'A').
Đương trực tiếp AC' vuông góc vơi mặt mũi phảng (A'BD).
ỐỊiải
a) Ta đem AB' ± A’B (hai đàng chéo cánh hình vuông)
AB' 1 BC (vì BC 1 (ABBA/)
=> AB'l(BCD'A')
Mà AB’ c (AB'C'D) nên (AB'C'D) ± (BCDA')
fA'BlAB'
[a'BIB'C'
b) Ta có
A'Bl(ADC'B')
Mà AC'c(ABC'B') nên ACIA'B	(1)
Tương tự động A'D 1 (ABC'D') => A'D 1 AC' (2)
Từ (1) và (2) suy đi ra AC' 1 (A'BD).
Cho hình chóp S.ABCD đem lòng ABCD là 1 hình thoi cạnh a và đem SA = SB = sc = a. Chứng minh ràng:
Mặt phẵng (ABCD) vuông góc vói mạt phẵng (SBD).
Tam giác SBD là tam giác vuông.
Ốịiảl
Gọi o là tâm hình thoi ABCD.	s
AC1BDÌ
AC ISO
=> ACl(SBD)
=> (ABCD) 1 (SBD)
Vì SA = SB = SC = a và AB = BC = a nên tía tam giác SAC, BAC, DAC
cân và đều bằng nhau. Do cơ OS - OB = OD.
Từ cơ suy đi ra SBD là tam giác vuông bên trên s.
Cho hình vỏ hộp chữ nhật ABCD.A'B C'D' đem AB = a, BC = b, CC' = c.
Chứng minh rằng mặt mũi phẩng (ADCB') vuông góc vời mặt mũi phầng (ABB'A').
Tính chừng nhiều năm nhịn nhường chéo cánh AC' bám theo a, b, c.
a) Vì AD1AB
adiaa;
Mặt phẳng lặng (ADC'B') chứa chấp AD nên
ta suy đi ra (ADC'B') 1 (ABB'A').
Ta có:
ADl(ABB'A')
b) Ta đem AC'2 = AC2 +CC'2 (AACC' vuông) A'
a/ !
>x /
"'id
✓
z
z
✓
✓
z
B
C'
D'
AC'2 = AB2 + BC2 + CC'2 (AABC vuông) AC'2 =a2 + b2 +c2.
Vậy AC’ = Va2 + b2 + c2.
Tính chừng nhiều năm đàng chéo cánh cùa mót hình lập phương cạnh a.
Ốịíải
Áp dụng thành quả bài xích 7b với a = b = c tao có tính nhiều năm đàng chéo cánh hình lập phương AC' = v/ởa2 =a7? .
Cho hình chóp lam giác đều S.ABC đem SH là dương cao. Chứng minh SA -L BC và SB ± AC.
x;. r.	s
■ACl(SBH) => AC1SB.
c/jiai
Vì H là tâm của tam giác đều nên tao có:
BC± AH và BC1SH.
BCl(SAH) =>BC1SA
BC1AHÌ Ta có:	* r:
BC1SHJ
Tương tự động tao đem AC1BH và AC1SH
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đem những cạnh mặt mũi và những cạnh lòng đều vì chưng a. Gọi o là tâm cùa hình vuông vắn ABCD.
Tính chừng nhiều năm đoạn trực tiếp SO.
Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh nhì mặt mũi phẩng (MBD) và (SAC) vuông gòc vơi nhau.
Tính chừng nhiều năm đoạn OM và tính góc thân thiết nhì mặt mũi phẵng (MBD) và (ABCDI.
tflai
Ta đem tứ giác ABCD là hình vuông vắn đem cạnh vì chưng a và ví ± (ABCD). Do đó:
-	---'O'.
A	a B
2 2 2
OM2 =4^- —= —■ Vậy OM = - 2	4	4
OM2 = oc2 - MC2 vì như thế OMC là tam giác vuông bên trên M.
a
2’
Vì MO 1 BD và CO 1BD với BD là phú tuyến của (MBD) và (ABCD) nên MOC là góc thân thiết nhì mặt mũi phẳng lặng (MBD) và (ABCD).
Tam giác MOC là vuông bên trên M nên:
a
sin MOC =-^7 = —=-7= => MOC = 45° oc aV2 V2
Vậy góc thân thiết nhì mặt mũi phẳng lặng (MBD) và (ABCD) vì chưng 45°.
11 . Cho hình chóp S.ABCD đem lòng ABCD là 1 hình thoi tâm I cạnh a và cỏ góc A vì chưng 60", cạnh sc - ——
và sc vuông góc với mặt mũi phảng (ABCDi.
Chứng minh mặt mũi phẵng (SBDl vuông góc vdi mặt mũi phầng (SAC).
Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc vđi SA bên trên K. Hãy tính chừng nhiều năm 1K.
Chứng minh BKD = yO" và kể từ dó suy đi ra mặt mũi phẳng lặng (SAB) vuông góc vứi mặt mũi phẵng (SAD).
CA -3A. SA = —-—a
thay vô (1)
Ốịiải
Vì BDTAC và BD1SC nên BDl(SAC). Ta suy đi ra (SBD)l(SAC).
Hình thoi ABCD được tạo ra trở nên vì chưng nhì tam giác đều công cộng lòng. Hai tam giác vuông SCA và IKA đem công cộng góc A nên đồng dạng, tao có:
IK AI
77 = -—7	(!)
SC AS
Theo tấp tểnh lí Py-ta-go tao có:
o A 2	<-.^-,2	„.2	6a' z rz\- 18a”
SA — sc + CA =—-—b^aV3J —	
a Vó a 73
. TV _ SC.AI 2	2 a
SA 372	2
2
SA1DB'
SA1IK
Vì IK = IB = ID = ^
>=>SA±(BDK) =>SA±BK và SA 1 DK.
Vậy BKD là góc thân thiết nhì mặt mũi phẳng lặng (SAB) và (SAD) và BKD = 90° nên tao suy đi ra (SAB) ±(SAD).
c. BÀI TẬP LẦM THÊM
Cho tam giác ABC vuông càn đỉnh B và AB = a. đoạn SA vuông góc với (ABC) và SA = av/3 . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của sc và SB, M là 1 điểm trôn đoạn AB. Đặt AM = X (0 < X < a). Gọi ct là mặt mũi phẳng lặng chứa chấp EM và vuông góc với (SAB).
Hãy xác lập mặt mũi phẳng lặng a và tiết diện của tứ diện SABC với ct.
Chứng minh FM = Vx2 - ax + a 2. Tính diện tích S của tiết diện bám theo a và X.
Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là vấn đề đối xứng
của A qua quýt I. Dựng đoạn SD = ~~~ vuông góc với (ABC).
Chứng minh: a) mp(SAB) ± mp(SAC) b) mp(SBC) ± mp(SAD).
Cho nhì tam giác ACD và BCD trực thuộc nhì mặt mũi phẳng lặng vuông góc cùng nhau, AC = AD = BC = a và CD = 2x. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và IJ vuông góc với CD.
Tính AB và IJ bám theo a và X.
Xác tấp tểnh X sao cho tới (ABC) vuông góc với (ABD).