Tổng hợp lý thuyết hai mặt phẳng song song khi nào? bài tập và cách chứng minh toán lớp 12

Hai mặt mũi phẳng lì tuy vậy song khi nào? Bài luyện và cách chứng minh

Phương pháp minh chứng nhì mặt mũi phẳng lì tuy vậy song với nhau

■ Định nghĩa: Hai mặt mũi phẳng lì được gọi là tuy vậy song nếu như bọn chúng không tồn tại điểm công cộng.

Bạn đang xem: Tổng hợp lý thuyết hai mặt phẳng song song khi nào? bài tập và cách chứng minh toán lớp 12

Định lý: Nếu mặt mũi phẳng lì $\left( \alpha  \right)$ chứa chấp hai tuyến phố trực tiếp a và b tách nhau và nằm trong tuy vậy song với $\left( \beta  \right)$ thì $\left( \alpha  \right)$song tuy vậy với $\left( \beta  \right)$.

Tính chất 1: Qua một điểm A ở bề ngoài phẳng lì $\left( \beta  \right)$ mang lại trước, đem có một không hai một phía phẳng lì $\left( \alpha  \right)$ tuy vậy song với $\left( \beta  \right)$.

$\Rightarrow $ Hệ quả: Cho điểm A ko phía trên mặt mũi phẳng lì $\left( \alpha  \right)$. Khi bại liệt những đường thẳng liền mạch trải qua A và tuy vậy song với $\left( \alpha  \right)$ nằm trong phía trên mặt mũi phẳng lì $\left( \beta  \right)$ trải qua A và tuy vậy song với $\left( \alpha  \right)$.

■ Tính hóa học 2: Cho nhì mặt mũi phắng $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ tuy vậy song cùng nhau. Khi bại liệt một phía phẳng lì nếu như tách $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ thứu tự theo gót những kí thác tuyến a, b thì a tuy vậy song với b.

Phương pháp giải toán:

Để minh chứng nhì mặt mũi phẳng lì (P) và (Q) tuy vậy song cùng nhau tao minh chứng hai tuyến phố trực tiếp a và b tách nhau trực thuộc mặt mũi phẳng lì (P) tuy vậy song với thứu tự hai tuyến phố trực tiếp ${a}'$ và ${b}'$ tách nhau trực thuộc mặt mũi phẳng lì (Q).

Bài luyện minh chứng nhì mặt mũi phẳng lì tuy vậy song đem đáp án chi tiết

Bài luyện 1: Cho hình chóp S.ABCD, đem lòng là hình bình hành tâm O. Gọi M, N thứu tự là trung điểm của SA, SD.

a) Chứng minh $\left( OMN \right)//\left( SBC \right).$

b) Gọi P.., Q thứu tự là trung điểm của AB, ON. Chứng minh $PQ//\left( SBC \right).$

Lời giải chi tiết

a) Ta đem MO là lối tầm nhập tam giác $SAC\Rightarrow MO//AC.$

Mặt không giống N và O thứu tự là trung điểm của SD và BD nên NO là lối tầm nhập $\Delta SBD\Rightarrow NO//SB.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} MO//SC \\  {} NO//SB \\  {} MO\cap NO=O \\  {} SC\cap SB=S\text{ } \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( OMN \right)//\left( SBC \right).$

b) Do P.. và O thứu tự là trung điểm của AB và AC nên $OP//AD//BC\Rightarrow OP//\left( SBC \right).$

Lại đem $ON//SB\Rightarrow OQ//\left( SBC \right).$

Do vậy $\left( OPQ \right)//\left( SBC \right)\Rightarrow PQ//\left( SBC \right).$

Bài luyện 2: Cho hình chóp S.ABCD, đem lòng là hình bình hành tâm O. Gọi M, N thứu tự là trung điểm của SA và CD.

a) Chứng minh rằng $\left( OMN \right)//\left( SBC \right).$

b) Gọi I là trung điểm của SD, J là 1 trong những điểm bên trên (ABCD) và cơ hội đều AB, CD. Chứng minh rằng $IJ//\left( SAB \right).$

Lời giải chi tiết

a) Ta đem N và O thứu tự là trung điểm của CD và AC nên NO là lối tầm nhập $\Delta BCD\Rightarrow NO//BC$.

Tương tự động MO là lối tầm nhập tam giác SAC nên $MO//SC$.

Lại có: $\left\{ \begin{array}  {} NO//BC \\  {} MO//SC \\  {} OM\cap ON=O \\  {} BC\cap SC=S\text{ } \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( OMN \right)//\left( SBC \right)$

b) Ta đem P.. và Q thứu tự là trung điểm của BC và AD thì PQ là đường thẳng liền mạch cơ hội đều AB và CD vì vậy điểm $J\in PQ$. Do IQ là lối tầm của $\Delta SAD$ nên $IQ//SA$.

Ta có: $PQ//\left( SAB \right);IQ//\left( SAB \right)\Rightarrow \left( IPQ \right)//\left( SAB \right)$

Mặt không giống $IJ\subset \left( IPQ \right)\Rightarrow IJ//\left( SAB \right).$

Bài luyện 3: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình bình hành. Gọi M, N, P.., Q là trung điểm của BC, AB, SB và AD.

a) Chứng minh rằng: $\left( MNP \right)//\left( SAC \right).$

b) Chứng bản thân rằng: $PQ//\left( SCD \right).$

c) Gọi I là kí thác điểm của AM và BD; J là vấn đề nằm trong SA sao mang lại $AJ=2JS.$

Chứng minh $IJ//\left( SBC \right).$

Lời giải chi tiết

a) Ta đem PN là lối tầm nhập $\Delta SAB$

Suy đi ra $PN//SA.$

Tương tự động tao có: $MP//SC\Rightarrow \left( MNP \right)//\left( SAC \right).$

(hai mặt mũi phẳng lì đem cặp cạnh tuy vậy song tách nhau).

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} MQ//CD \\  {} MP//SC \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( MPQ \right)//\left( SCD \right)$

Lại đem $PQ\subset \left( MNQ \right)\Rightarrow PQ//\left( SCD \right).$

c) Do $\left\{ \begin{array}  {} I=AM\cap BD \\  {} BM//AD \\ \end{array} \right.$

Theo lăm le lý Talet tao có: $\frac{MI}{IA}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$

Mặt khác: $\frac{SJ}{JA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{MI}{IA}=\frac{SJ}{JA}\Rightarrow \text{IJ}//SM.$

Do $SM\subset \left( SBC \right)$ suy đi ra $\text{IJ}//\left( SBC \right).$

Bài luyện 4: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, CD.

a) Chứng minh rằng $\left( OMN \right)//\left( SBC \right).$

b) Tìm kí thác điểm I của ON và (SAB).

c) Gọi $G=SI\cap BM$, H là trọng tâm của $\Delta SCD$. Chứng minh rằng $GH//\left( SAD \right).$

d) Gọi J là trung điểm AD, $E\in MJ$. Chứng minh rằng $OE//\left( SCD \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: OM là lối tầm nhập tam giác SAC suy đi ra $OM//SC.$

Lại có: ON là lối tầm nhập tam giác BCD nên $ON//BC.$

Xem thêm:

Do vậy $\left( OMN \right)//\left( SBC \right).$

b) Trong mặt mũi phẳng lì (ABCD), gọi $I=ON\cap AB$ khi bại liệt I đó là kí thác điểm của ON và (SAB).

c) Dễ thấy G, H thứu tự là trọng tâm tam giác SAB và SCD vì thế $\frac{SG}{SI}=\frac{SH}{SN}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow GH//IN//AD\Rightarrow GH//\left( SAD \right).$

d) Do O và J thứu tự là trung điểm của AC và AD nên $OJ//CD$ (tính hóa học lối trung bình).

Mặt không giống O và M thứu tự là trung điểm của AC và SA nên $OM//SC.$

Do vậy $\left( OMJ \right)//\left( SCD \right)\Rightarrow OE//\left( SCD \right).$

Bài luyện 5: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình bình hành tâm O. Gọi M, N thứu tự là trung điểm của SB, SC; lấy điểm $P\in SA.$

a) Tìm kí thác tuyến (SAB) và (SCD).

b) Tìm kí thác điểm SD và (MNP).

c) Tìm tiết diện hình chóp và mặt mũi phẳng lì (MNP). Thiết diện là hình gì?

d) Gọi $J\in MN$. Chứng minh rằng $OJ//\left( SAD \right).$

Lời giải chi tiết

a) Do AB tuy vậy song với CD nên kí thác tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng liền mạch d trải qua S và tuy vậy song với AB và CD.

b) Trong mặt mũi phẳng lì (SAB), kéo dãn PM tách AB bên trên Q, nhập mặt mũi phẳng lì (PMQR), kéo dãn QN tách SD bên trên R, kí thác điểm của SD và (MNP) là R.

c) Thiết diện hình chóp và mặt mũi phẳng lì (MNP) là tứ giác MPRN.

Do 3 mặt mũi phẳng lì (MNP); (ABC); (SAD) tách nhau theo gót 3 kí thác tuyến là PR; MN;AD nên bọn chúng tuy vậy song hoặc đồng quy.

Mặt không giống $MN//AD\Rightarrow MN//AD//PR\Rightarrow $ MPRN là hình thang.

d) Ta có: OM là lối tầm nhập tam giác $SBD\Rightarrow OM//SD.$

Tương tự động tao có: $ON//SA\Rightarrow \left( OMN \right)//\left( SAD \right).$

Mặt không giống $OJ\subset \left( OMN \right)\Rightarrow OJ//\left( SAD \right)$ (điều cần hội chứng minh).

Bài luyện 6: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình bình hành. Gọi I, J, G, P.., Q là trung điểm của DC, AB, SB, BG, BI.

a) Chứng minh rằng $\left( IJG \right)//\left( SAD \right).$

b) Chứng minh rằng $PQ//\left( SAD \right).$

c) Tìm kí thác tuyến của nhì mặt mũi phẳng lì (SAC) và (IJG).

d) Tìm kí thác tuyến của nhì mặt mũi phẳng lì (ACG) và (SAD).

Lời giải chi tiết

a) Ta đem IJ là lối tầm của hình bình hành ABCD nên $IJ//AD\left( l \right).$

Lại đem JG là lối tầm tam giác $SAB\Rightarrow JG//SA\left( 2 \right).$

Từ (l) và (2) suy đi ra $\left( IJG \right)//\left( SAD \right).$

b) Gọi E là trung điểm của JB thì $\frac{BE}{BA}=\frac{BP}{BS}=\frac{1}{4}\Rightarrow \text{EP}//AS.$

Mặt không giống EQ là lối tầm cùa tam giác BIJ nên $EQ//IJ\Rightarrow EQ//AD.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} EP//SA \\  {} EQ//AD \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( EPQ \right)//\left( SAD \right).$

c) Trong mặt mũi phẳng lì (ABC) gọi $O=IJ\cap AC.$

Ta có: $SA//JG$ nên kí thác tuyến của nhì mặt mũi phẳng lì (SAC) và (IJG) tuy vậy song với SA

Khi bại liệt kí thác tuyến của nhì mặt mũi phẳng lì (SAC) và (IJG) là đường thẳng liền mạch trải qua O và tuy vậy song với SA.

d) Gọi K là trung điểm của SA thì $GK//AB$ (tính hóa học lối trung bình)

Suy đi ra $GK//CD\Rightarrow G,K,C,D$ đồng phẳng lì.

Trong mặt mũi phẳng lì (GKCD) gọi $M=DK\cap CG\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} M\in \left( ACG \right) \\  {} M\in \left( SAD \right) \\ \end{array} \right..$

Do bại liệt kí thác tuyến của nhì mặt mũi phẳng lì (ACG) và (SAD) là AM.

Bài luyện 7: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P.. thứu tự là trung điểm của BC, CD, SC.

a) Chứng minh rằng $\left( MNP \right)//\left( SBD \right).$

b) Tìm kí thác tuyến (SAB) và (SCD).

c) Tìm kí thác tuyến của (MNP) và (SAD). Suy đi ra kí thác điểm của SA và (MNP).

d) Gọi $I=AP\cap SO,\text{ }J=AM\cap BD$ Chứng minh rằng $IJ//\left( MNP \right).$

Lời giải chi tiết

a) Ta đem MN là lối tầm nhập tam giác BCD nên $MN//BD.$

Tương tự động NP là lối tầm nhập tam giác SCD nên $NP//SD.$

Do vậy $\left( MNP \right)//\left( SBD \right).$

b) Do $AB//CD$ nên kí thác tuyến của (SAB) và (SCD) trải qua S và tuy vậy song với AB và CD.

c) Gọi $E=MN\cap AD.$

Do $NP//SD$ nên kí thác tuyến $\Delta $ của (MNP) và (SAD) trải qua E và tuy vậy song với SD.

Xem thêm: 40 ảnh gái xinh Châu Âu làm hình nền điện thoại

Trong mặt mũi phẳng lì (SAD) gọi $F=\Delta \cap SA\Rightarrow F=SA\cap \left( MNP \right).$

d) Ta có: $J=AM\cap BO;J=SO\cap AP$ vì thế I, J thứu tự là trọng tâm tam giác SAC và ABC

Khi bại liệt $\frac{AI}{AP}=\frac{\text{AJ}}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \text{IJ}//MP\Rightarrow IJ//\left( MNP \right).$

BÀI VIẾT NỔI BẬT


Cách chơi Rubik 3x3 dễ hiểu nhất cho người mới

Có nhiều cách tiếp cận để giải một khối Rubik 3x3 với mức độ khó khác nhau, nhưng nhìn chung, mọi người đều công nhận rằng phương pháp dưới đây là dễ học nhất. Trong bài viết này, H2 Rubik sẽ chỉ cho bạn cách để giải khối Rubik bằng phương pháp layer-by-layer 7 bước dành cho người mới bắt đầu.