Lý thuyết Giới hạn của hàm số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Giới hạn của hàm số lớp 11 bao gồm lý thuyết cụ thể, ngắn ngủn gọn gàng và bài xích luyện tự động luyện sở hữu điều giải cụ thể sẽ hỗ trợ học viên nắm rõ kỹ năng trọng tâm Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số.

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bạn đang xem: Lý thuyết Giới hạn của hàm số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng chừng K chứa chấp điểm x0 và hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên K hoặc bên trên K \ {x0}.

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là số L Lúc x dần dần cho tới x0 nếu với mặt hàng số (xn) bất kì, xn K \{x0} và xn → x0, tớ sở hữu f(xn) → L.

Kí hiệu: limxfx=L hoặc f(x) → L Lúc x → x0.

Nhận xét: limxx=x0,limxc=c với c là hằng số.

Ví dụ 1. Cho hàm số fx=x38x2. Chứng minh rằng limx2fx=12.

Giải

Hàm số xác lập trên \2

Giả sử (xn) là 1 trong mặt hàng số bất kì, thỏa mãn xn2xn2 khi n+.

Ta có:

limfxn=limxn38xn2=limxn2xn2+2xn+4xn2=limxn2+2xn+4=12.

Vậy limx2fx=12.

2. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử limxx0fx=Llimxx0gx=M. Khi đó:

limxx0fx+gx=L+M;limxx0fxgx=LM;limxx0fx.gx=L.M;limxx0fxgx=LMM0;

b) Nếu fx0 và limxx0fx=L thì L0 và limxx0fx=L.

(Dấu của f(x) được xét bên trên khoảng chừng đang được lần số lượng giới hạn với xx0).

Ví dụ 2. Cho hàm số fx=1xx42. Tính limx4fx.

Giải

Ta có:

limx41x=3<0, limx4x42=0limx4fx=limx41xx42=

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (x0; b).

Số L được gọi là số lượng giới hạn ở bên phải của hàm số hắn = f(x) Lúc x → x0 nếu với mặt hàng số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, tớ sở hữu f(xn) → L.

Kí hiệu: limxx0+fx=L

- Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a; x0).

Số L được gọi là số lượng giới hạn phía trái của hàm số hắn = f(x) Lúc x → x0 nếu với mặt hàng số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, tớ sở hữu f(xn) → L.

Kí hiệu: limxx0fx=L.

Định lí 2

limxx0fx=Llimxx0+f(x)=limxx0fx=L

Ví dụ 3. Cho hàm số fx=x+1 khi x02x khi x < 0. Tìm limx0+f(x);limx0f(x) và limx0f(x) (nếu có).

Giải

Ta có:  

limx0+f(x)=limx0+x+1=0;limx0f(x)=limx02x=0;limx0+f(x)=limx0fx=0

Do đó limx0f(x)=0.

Vậy limx0+f(x)=limx0fx=0 và limx0f(x)=0.

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a; +∞).

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là số L Lúc x → +∞ nếu như với mặt hàng số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, tớ sở hữu f(xn) → L.

Kí hiệu: limx+fx=L

b) Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (–∞; a).

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là số L Lúc x → –∞ nếu như với mặt hàng số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, tớ sở hữu f(xn) → L.

Kí hiệu: limxfx=L

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k vẹn toàn dương, tớ luôn luôn có:

limx+c=c;limxc=c; limx+cxk=0;limxcxk=0.

b) Định lí 1 về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số Lúc x → x0 vẫn còn đúng vào khi xn → +∞ hoặc x → –∞

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a; +∞).

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là –∞ Lúc x → +∞ nếu như với mặt hàng số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, tớ sở hữu f(xn) → –∞

Kí hiệu: limxfx=

Nhận xét:

limx+fx=+limx+fx=.

2. Một vài ba số lượng giới hạn quánh biệt

a) limx+xk=+ với k vẹn toàn dương.

b) Nếu k chẵn thì limxxk=+;

Nếu k lẻ thì limxxk=.

3. Một vài ba quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc lần số lượng giới hạn của tích f(x).g(x)

Lý thuyết Giới hạn của hàm số - Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Quy tắc lần số lượng giới hạn của thương fxgx

Lý thuyết Giới hạn của hàm số - Toán lớp 11 (ảnh 1)

(Dấu của g(x) xét bên trên một khoảng chừng K này cơ đang được tính số lượng giới hạn, với xx0)

Chú ý: Các quy tắc bên trên vẫn trúng cho những ngôi trường hợp:

xx0+,xx0;x+;x.

Ví dụ 4. Tính những số lượng giới hạn sau:

a) limxx43x+8;

b) limx15x62x2;

c) limx3+xx+3;

Giải

a)

 limx+x43x+8=limxx413x3+8x4=limx+x4.limx+13x3+8x4=+

(Vì limx+x4=+;limx+13x3+8x4=1).

b)

limx15x62x2=limx15x6:limx12x2=+

(Vì limx15x6=1<0;limx12x2=0 và 2x – 2 < 0 với từng x < 1).

c)

limx3+xx+3=limx3+x:limx3+x+3=

( Vì limx3+x=3<0;limx3+x+3=0 và x + 3 > 0 với từng x > - 3 ).

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính số lượng giới hạn những hàm số sau:

a) limx1x1x+32;

b) limx+12x+3x3x39;

c) limx01x21x2+11;

d) limxx2112x5x39;

Lời giải

a)

limx1x1x+32=limx1x1x+3+2x+32x+3+2=limx1x1x+3+2x1=limx1x+3+2x+1=42=2

b)

limx+12x+3x3x39=limx+1x32x2+319x3 =31=3

c)

limx01x21x2+11=limx01x2.limx01x2+11=0

( Vì limx01x2=;limx01x2+11=0).

d)

limxx2112x5x7+x+3=limx11x21x251+1x6+3x7=21=2

Bài 2. Dùng khái niệm lần những số lượng giới hạn sau:

a) limx212x4x+1;

b) limx3x2+4x22.

Lời giải

a) Xét hàm số f(x)=12x4x+1

Tập xác lập của hàm số: \14.

Giả sử (xn) là 1 trong mặt hàng số bất kì, vừa lòng xn14 và xn2 khi n+. Ta có:

Xem thêm: Đường đôi là gì? 2 Biển báo hiệu đường đôi CẦN BIẾT

limxn2f(xn)=limxn212xn4xn+1=39=13.

Do đó limx212x4x+1=13.

b) Xét gx=3x2+4x22

Tập xác lập của hàm số: \±2

Giả sử (xn) là 1 trong mặt hàng số bất kì, vừa lòng xn±2 và xn khi n+. Ta có:

limxgxn=limx3xn2+4xn22=3

limx3x2+4x22=3.

Bài 3. Cho hàm số: fx=1x13x31  khi  x>1mx+2  khi  x1

Với độ quý hiếm này của m thì hàm số f(x) sở hữu số lượng giới hạn Lúc x1? Tìm số lượng giới hạn này.

Lời giải

Ta có:

limx1+fx=limx1+1x13x31=limx1+x2+x+13x1x2+x+1=limx1+x2+x2x1x2+x+1=limx1+x1x+2x1x2+x+1=limx1+x+2x2+x+1=33=1limx1fx=limx1mx+2=m+2

Để hàm số f(x) sở hữu số lượng giới hạn Lúc x1 thì limx1+fx=limx1fx

m+2=1m=1

Khi đó: limx1fx=limx1+fx=limx1fx=1.

Vậy m = -1 thì hàm số f(x) sở hữu số lượng giới hạn Lúc x1 và số lượng giới hạn cơ bởi vì 1.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Câu 1: Giá trị của số lượng giới hạn limx39x2x(2x1)(x43)  là:

A. 15

B. 5 

C. 15 

D.   5.

Đáp án: C

Giải thích:

limx39x2x(2x1)(x43)=9.323(2.31)(343)

=15=55

Câu 2: Giá trị của số lượng giới hạn limxx3+2x2+3x là:

A.  0.

B.  +∞.

C.  1.

D.  −∞.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta sở hữu x<0 nên:

limxx3+2x2+3x=limxx3+2x23x=limxx3.1+2x3x2=+

Vì limxx3=,limx1+2x3x2=1<0

Câu 3:  Tính limx+x2+x+3x bằng?

A. −1

B. 0

C. 12

D. 1

Đáp án: C

Giải thích:

limx+x2+x+3x=limx+x2+x+3x2x2+x+3+x=limx+x+3x2+x+3+x=limx+1+3x1+1x+3x2+1=1+01+0+0+1=12

Câu 4: Tính limxx3+13+x1 bằng?

A.  −1

B.  0

C.  12

D.  −∞

Đáp án: D

Giải thích:

limxx3+13+x1=limxx1+1x33+x1=limxx1+1x33+11x=

Vì limxx=;

limx1+1x33+11x=2>0

Câu 5: Kết ngược của số lượng giới hạn  limx(1)+x3+1xx21 là:

A.   3.

B.   +∞.

C.   0.

D.  −∞

Đáp án: C

Giải thích:

Với x1;0 thì x+1>0 và xx1>0

Do đó 

limx(1)+x3+1xx21=limx(1)+(x+1)(x2x+1)x(x1)(x+1)=limx(1)+x+1(x2x+1)xx1=  1+1. ​[(1)+1].  111=0

Câu 6: Giá trị của số lượng giới hạn limx2x2x1x2+2x3 là:

A. 14

B. 12

C. 13 

D.  15

Đáp án: B

Giải thích:

limx2x2x1x2+2x3=222122+2.23=183=12

Câu 7: Giá trị của số lượng giới hạn limx3x24 là:

A.   0.

B.   1.

C.   2.

D.   3.

Đáp án: B

Giải thích:

limx3x24=324=  1=1

Câu 8: Giá trị của số lượng giới hạn limx(xx3+1) là:

A.  1.

B.  −∞.

C.  0.

D.  +∞.

Đáp án: D

Giải thích:

limx(xx3+1)=limxx31x21+1x3=+

vì limxx3=lim1x21+1x3x=1<0

Câu 9: Kết ngược của giới hạn limx2+x15x2 là:

A.   −∞

B.   +∞

C.  152

D. 1

Đáp án: A

Giải thích:

Vì limx2+(x15)=215=13<0limx2+(x2)=22=0x2>0,x>2limx2+x15x2=

Câu 10: Kết ngược của số lượng giới hạn limx2+x+2x2 là:

A. −∞.

B. +∞.

C. −152.

D. Không xác lập.

Đáp án: B

Giải thích:

limx2+x+2=  2+2=2>0limx2+x2=  22=0x2>0,x>2

limx2+x+2x2=+

Xem tăng những bài xích tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 khá đầy đủ, cụ thể khác:

Lý thuyết Hàm số liên tục 

Lý thuyết Ôn luyện chương 4 

Xem thêm: Cho 27,6 gam Toluen phản ứng với 0,8 lít dung dịch HNO3 đặc 0,75M (xúc tác H2SO4 đặc, to). Sau một thời gian thu được ?

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa sâu sắc của đạo hàm

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm 

Lý thuyết Đạo hàm của hàm con số giác