Lý thuyết Giới hạn của hàm số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bạn đang xem: Lý thuyết Giới hạn của hàm số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng chừng K chứa chấp điểm x₀ và hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên K hoặc bên trên K \ {x₀}.

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là số L Lúc x dần dần cho tới x₀ nếu với mặt hàng số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, tớ sở hữu f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ hoặc f(x) → L Lúc x → x₀.

Nhận xét: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0,\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$ với c là hằng số.

Ví dụ 1. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3-8}{\mathrm{x}-2}$. Chứng minh rằng $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=12.$

Giải

Hàm số xác lập trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{2\right\}$

Giả sử (x_n) là 1 trong mặt hàng số bất kì, thỏa mãn ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\ne 2$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$.

Ta có:

$$\begin{gathered} \text{limf}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\lim \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^3-8}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2} \\ =\lim \frac{\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2\right)\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^2+2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+4\right)}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2} \\ =\lim \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^2+2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+4\right)=12. \end{gathered}$$

Vậy $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=12.$

2. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{M}$. Khi đó:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}+\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}-\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}.\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{M}}\left(\mathrm{M}\ne 0\right); \end{gathered}$$

b) Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ thì $\mathrm{L}\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{L}}.$

(Dấu của f(x) được xét bên trên khoảng chừng đang được lần số lượng giới hạn với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$).

Ví dụ 2. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2}$. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).$

Giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\left(1-\mathrm{x}\right)=-3<0, \underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2=0 \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2}=-\infty \end{gathered}$$

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (x₀; b).

Số L được gọi là số lượng giới hạn ở bên phải của hàm số hắn = f(x) Lúc x → x₀ nếu với mặt hàng số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, tớ sở hữu f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

- Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a; x₀).

Số L được gọi là số lượng giới hạn phía trái của hàm số hắn = f(x) Lúc x → x₀ nếu với mặt hàng số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, tớ sở hữu f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

Định lí 2

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}\iff \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Ví dụ 3. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\mathrm{x}}+1\text{ khi x}\ge \text{0}\\ \text{2x khi x < 0}\end{array}\right.$. Tìm $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right);\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ (nếu có).

Giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left(\sqrt{\mathrm{x}}+1\right)=0; \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }2\mathrm{x}=0; \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0 \end{gathered}$$

Do đó $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0.$

Vậy $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0.$

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a; +∞).

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là số L Lúc x → +∞ nếu như với mặt hàng số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, tớ sở hữu f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

b) Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (–∞; a).

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là số L Lúc x → –∞ nếu như với mặt hàng số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, tớ sở hữu f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k vẹn toàn dương, tớ luôn luôn có:

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};$ $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0.$

b) Định lí 1 về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số Lúc x → x₀ vẫn còn đúng vào khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a; +∞).

Ta thưa hàm số hắn = f(x) sở hữu số lượng giới hạn là –∞ Lúc x → +∞ nếu như với mặt hàng số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, tớ sở hữu f(x_n) → –∞

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\infty$

Nhận xét:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \\ \iff \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=-\infty \end{gathered}$$.

2. Một vài ba số lượng giới hạn quánh biệt

a) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$ với k vẹn toàn dương.

b) Nếu k chẵn thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$;

Nếu k lẻ thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=-\infty$.

3. Một vài ba quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc lần số lượng giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc lần số lượng giới hạn của thương $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$

(Dấu của g(x) xét bên trên một khoảng chừng K này cơ đang được tính số lượng giới hạn, với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$)

Chú ý: Các quy tắc bên trên vẫn trúng cho những ngôi trường hợp:

$\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+},\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-};\mathrm{x}\to +\infty ;\mathrm{x}\to -\infty .$

Ví dụ 4. Tính những số lượng giới hạn sau:

a) $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\left({\mathrm{x}}^4-3\mathrm{x}+8\right)$;

b) $\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{5\mathrm{x}-6}{2\mathrm{x}-2};$

c) $\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3};$

Giải

a)

 $$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{x}}^4-3\mathrm{x}+8\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4.\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right)=+\infty \end{gathered}$$

(Vì $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4=+\infty ;$$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right)=1$).

b)

$\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{5\mathrm{x}-6}{2\mathrm{x}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(5\mathrm{x}-6\right):\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(2\mathrm{x}-2\right)=+\infty$

(Vì $\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(5\mathrm{x}-6\right)=-1<0;$$\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(2\mathrm{x}-2\right)=0$ và 2x – 2 < 0 với từng x < 1).

c)

$\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}=\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\mathrm{x}:\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\left(\mathrm{x}+3\right)=-\infty$

( Vì $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }x=-3<0;$$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=0$ và x + 3 > 0 với từng x > - 3 ).

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính số lượng giới hạn những hàm số sau:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+3}-2};$

b) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3-9};$

c) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+1}-1\right);$

d) $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\left({\mathrm{x}}^2-1\right){\left(1-2\mathrm{x}\right)}^5}{{\mathrm{x}}^3-9};$

Lời giải

a)

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-1}{\sqrt{\mathrm{x}+3}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}-2\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\mathrm{x}-1} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}+3}+2}{\sqrt{\mathrm{x}}+1}=\frac{4}{2}=2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3-9} \\ =\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}+3}{1-\frac{9}{{\mathrm{x}}^3}} \\ =\frac{3}{1}=3 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right) \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}.\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right)=0 \end{gathered}$$

( Vì $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}=\infty ;\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+1}-1\right)=0$).

d)

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(x^2-1\right){\left(1-2x\right)}^5}{x^7+x+3} \\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right){\left(\frac{1}{x}-2\right)}^5}{1+\frac{1}{x^6}+\frac{3}{x^7}} \\ =\frac{-2}{1}=-2 \end{gathered}$$

Bài 2. Dùng khái niệm lần những số lượng giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1-2x}{4x+1}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2+4}{x^2-2}$.

Lời giải

a) Xét hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1-2\mathrm{x}}{4\mathrm{x}+1}$

Tập xác lập của hàm số: $ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{4}\right\}$.

Giả sử (x_n) là 1 trong mặt hàng số bất kì, vừa lòng $x_n\ne -\frac{1}{4}$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$. Ta có:

Xem thêm:

$\underset{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\underset{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2}{\lim }\frac{1-2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}{4{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+1}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}.$

Do đó $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}}{4\mathrm{x}+1}=-\frac{1}{3}.$

b) Xét $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{3{\mathrm{x}}^2+4}{{\mathrm{x}}^2-2}$

Tập xác lập của hàm số: $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{\pm \sqrt{2}\right\}$

Giả sử (x_n) là 1 trong mặt hàng số bất kì, vừa lòng ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\ne \pm \sqrt{2}$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to -\infty$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$. Ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{g}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{3{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}^2+4}{{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}^2-2}=3$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{3{\mathrm{x}}^2+4}{{\mathrm{x}}^2-2}=3.$

Bài 3. Cho hàm số: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3-1}\mathrm{khi}\mathrm{x}>1\\ \mathrm{mx}+2\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 1\end{array}\right.$

Với độ quý hiếm này của m thì hàm số f(x) sở hữu số lượng giới hạn Lúc $\mathrm{x}\to 1$? Tìm số lượng giới hạn này.

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3-1}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-3}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}=\frac{3}{3}=1 \\ \underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(\mathrm{mx}+2\right) \\ =\mathrm{m}+2 \end{gathered}$$

Để hàm số f(x) sở hữu số lượng giới hạn Lúc $x\to 1$ thì $\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} \iff \mathrm{m}+2=1 \\ \iff \mathrm{m}=-1 \end{gathered}$$

Khi đó: $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1$.

Vậy m = -1 thì hàm số f(x) sở hữu số lượng giới hạn Lúc $x\to 1$ và số lượng giới hạn cơ bởi vì 1.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Câu 1: Giá trị của số lượng giới hạn $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{\frac{9x^2-x}{(2x-1)(x^4-3)}}$  là:

A. $\frac{1}{5}$

B. $\sqrt{5}$ 

C. $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 

D.   5.

Câu 2: Giá trị của số lượng giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\left|x\right|}^3+2x^2+3\left|x\right|\right)$ là:

A.  0.

B.  +∞.

C.  1.

D.  −∞.

Câu 3:  Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+3}-x\right)$ bằng?

A. −1

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Câu 4: Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+1}+x-1\right)$ bằng?

A.  −1

B.  0

C.  $\frac{1}{2}$

D.  −∞

Câu 5: Kết ngược của số lượng giới hạn  $\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }\left(x^3+1\right)\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$ là:

A.   3.

B.   +∞.

C.   0.

D.  −∞

Câu 6: Giá trị của số lượng giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt[3]{\frac{x^2-x-1}{x^2+2x}}$ là:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$ 

D.  $\frac{1}{5}$

Câu 7: Giá trị của số lượng giới hạn $\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\left|x^2-4\right|$ là:

A.   0.

B.   1.

C.   2.

D.   3.

Câu 8: Giá trị của số lượng giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-x^3+1)$ là:

A.  1.

B.  −∞.

C.  0.

D.  +∞.

Câu 9: Kết ngược của giới hạn $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-15}{x-2}$ là:

A.   −∞

B.   +∞

C.  $-\frac{15}{2}$

D. 1

Câu 10: Kết ngược của số lượng giới hạn $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}$ là:

A. −∞.

B. +∞.

C. −152.

D. Không xác lập.

Xem tăng những bài xích tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 khá đầy đủ, cụ thể khác:

Lý thuyết Hàm số liên tục 

Lý thuyết Ôn luyện chương 4 

Xem thêm: 7 cách lập dàn ý nghị luận văn học theo từng dạng đề bài

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa sâu sắc của đạo hàm

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm 

Lý thuyết Đạo hàm của hàm con số giác