Cho ma trận A có cấp mxn. Ta có thể dùng một trong hai phương pháp sau để tìm hạng của ma trận A.
Phương pháp 1: xét tất cả các định thức con của ma trận A. Cấp cao nhất của định thức con khác 0 được định nghĩa là hạng của ma trận.
Phương pháp 2: dùng các phép biến đổi trên hàng (cột) để đưa ma trận A về dạng bậc thang. Giả sử B là ma trận bậc thang thu được. Khi đó, hạng của ma trận A bằng số hàng khác không của ma trận B.
[Nhắc lại về hàng khác không: hàng khác không của ma trận là hàng có ít nhất một phần tử khác 0]
Ví dụ:
Xét ma trận A =
Phương pháp 1: ta liệt kê tất cả các định thức con của ma trận A.
Ma trận A có các định thức con gồm:
- Định thức con cấp 1: 3, 5, 8, 0, 9
- Định thức con cấp 2: 0, 45, 27
Loại bỏ hết các định thức con bằng 0, ta được các định con: 3, 5, 8, 9 (cấp 1) và 45, 27 (cấp 2). Do đó, cấp 2 là cấp cao nhất của định thức con khác 0. Ta có, hạng của ma trận A bằng 2.
Phương pháp 2: đưa về dạng ma trận bậc thang.
Do A có dạng ma trận bậc thang và A có 2 hàng khác không nên hạng của ma trận A bằng 2.
Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau:
A =
| 2 | 1 | 3 | 4 |
| 1 | 0 | 5 | 9 |
| 3 | 1 | 8 | 13 |
Ta sử dụng phương pháp 2 cho ví dụ này. Sử dụng một số phép biến đổi trên ma trận, ta thu được ma trận bậc thang B như sau
B =
| 2 | 1 | 3 | 4 |
| 0 | -1 | 7 | 14 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Ma trận B có 2 hàng khác không nên hạng của ma trận A bằng 2.
