Công thức nguyên hàm, bảng nguyên hàm đầy đủ & mở rộng

Tổng hợp công thức nguyên hàm, bảng nguyên hàm đầy đủ, chi tiết & mở rộng. Giúp các em học sinh nắm vững trước khi làm bài tập. Bài học thuộc chương 3 của chương trình toán lớp 12, một trong những chuyên đề quan trọng trong các kì thi và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

Tải xuống bảng công thức nguyên hàm [VerbaLearn.org]

Nguyên hàm và các tính chất

1. Khái niệm nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của ℝ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∊ K.

Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Hai định lý trên cho thấy:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∊ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu:

Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)․dx = f(x)․dx.

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

Tính chất 2

, k là hằng số khác 0.

Tính chất 3

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

1. Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

2. Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x))

3. Nguyên hàm của hàm số hợp (u = ax + b; a ≠ 0)

Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp cơ bản

Định lý 1: Nếu và u = u(x) có đạo hàm liên tục thì:

Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ 0) ta có

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

Ở phần phân loại bài tập, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ càng hơn phương pháp này.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng các biến đổi sơ cấp

Phương pháp giải

Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức chứa x là những dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số là

Hướng dẫn giải

Ta có

⟹ Chọn C

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x (x + 2)²⁰¹⁹ là

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn D

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số là

C. ln (e^2x+ 1) + C

D. x – ln (e^2x + 1) + C

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do đó

⟹ Chọn B

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số là

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn A

Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp:

Lưu ý:

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số là

A. 2 ln|x – 3| – 3 ln|x + 2| + C

B. 3 ln|x – 3| + 2 ln|x – 2| + C

C. 2 ln|x + 3| + 3 ln|x + 2| + C

D. 2 ln|x – 3| + 3 ln|x – 2| + C

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta sẽ phân tích: 5x – 13 = A (x – 2) + B (x – 3) (1)

Thế x = 2 và x = 3 lần lượt vào (1) ta có B = 3 và A = 2.

Khi đó

= 2 ln|x – 3| + 3 ln|x – 2| + C

⟹ Chọn D

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số là

Hướng dẫn giải

Ta có

⟹ Chọn C

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số là:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta phân tích 3x² + 3x + 3 = A (x – 1)² + B (x – 1) (x + 2) + C (x + 2).

Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay A = 1, C = 3 và B = 2.

(Thay x = –2 ⇒ A =1; x = 1 ⇒ C = 3 và x = 0 ⇒ B = 2).

Khi đó: =

⟹ Chọn A

Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ , với P(x) và Q(x) là các đa thức, cụ thể như sau:

Nếu deg (P(x)) ≥ deg (Q(x)) thì ta thực hiện phép chỉa P(x) cho Q(x) (ở đây, kí hiệu deg (P(x)) là bậc của đa thức P(x)).

Khi deg (P(x)) < deg (Q(x)) thì ta quan sát mẫu số Q(x) ta tiến hành phân tích thành các nhân tử, sau đó, tách P(x) theo các tổ hợp của các nhân tử đó. Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức (hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của phân thức.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Ta đồng nhất thức mx + n = (Ax + Ba) x + Ad + Bb (1).

Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số.

Đồng nhất đẳng thức, ta được . Suy ra A, B.

Cách 2: Phương pháp giá trị riêng.

Lần lượt thay vào hai vế của (1), tìm được A, B.

Trường hợp 3:

Trường hợp 4:

Lần lượt thay ; x = 0 vào hai vế của (*) để tìm A, B, C.

Trường hợp 5: với ∆ = b² – 4ac < 0.

Trường hợp 6:

Câu 8. Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ\ thỏa mãn ; f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức P = f (–1) + f (3) là:

A. 3 ln5 + ln2

B. 3 ln2 + ln5

C. 3 + 2 ln5

D. 3 + ln15

Hướng dẫn giải

Vì

Suy ra

Do đó P = f (–1) + f (3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln15.

⟹ Chọn D

Câu 9. Cho hàm số f (x) xác định trên ℝ \ {–1; 1}, thỏa mãn ; f (–3) + f (3) = 2 ln2 và . Giá trị của biểu thức P = f (–2) + f (0) + f (4) là:

A. 2 ln2 – ln5

B. 6 ln2 + 2 ln3 – ln5

C. 2 ln2 + 2 ln3 – ln5

D. 6 ln2 – 2 ln5

Hướng dẫn giải

Hay

Theo bài ra, ta có:

Do đó

⟹ Chọn C

Câu 10. Nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn A

Câu 11. Nguyên hàm của hàm số là

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn B

Câu 12. Nguyên hàm của hàm số là:

A. –tan x – cot x + C

B. tan x – cot x + C

C. tan x + cot x + C

D. cot x – tan + C

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn B

Câu 13. Nguyên hàm của hàm số là:

B. tan 2x + C

C. cot 2x + C

Hướng dẫn giải

Ta có: =

⟹ Chọn D

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số là

Hướng dẫn giải

Từ tan³ x = tan x (1 + tan² x) – tan x

Suy ra

⟹ Chọn A

Câu 15. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x tanx thỏa mãn . Giá trị của là:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Suy ra

Theo giả thiết, ta có:

Vậy

Do đó

⟹ Chọn D

Câu 16. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos⁴ 2x thỏa mãn F (0) = 2019. Giá trị của là

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do đó

Mà F (0) = 2019 nên ta có C = 2019.

Vậy

Do đó =

⟹ Chọn C

Câu 17. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số , với , k ∊ ℤ và thỏa mãn . Giá trị của là:

B. 0

Hướng dẫn giải

Ta thấy:

Theo giả thiết, ta có nên C = 1.

Vậy

Do đó =

⟹ Chọn D

Chú ý: Với n ∊ ℕ^*, ta có:

và

Câu 18. Biết là phân số tối giản. Giá trị 2a – b là

A. 10

B. –4

C. 7

D. –3

Hướng dẫn giải

Vậy a = 1, b = 5. Nên 2a – b = –3.

⟹ Chọn D

Câu 19. Tìm một nguyên hàm của F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)²biết .

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 20. Cho và F (π) = a + b. Tính A = (a + b)⁶.

A. –2

B. 2

C. 1

D. –1

Hướng dẫn giải

Ta có

⇒ F (π) = –1 = a + b ⇒ A = 1

⟹ Chọn C

Câu 21. Cho tích phân . Tính A = 12 cot² 2x theo a.

A. 4a²

B. 2a²

C. 3a²

D. a²

Hướng dẫn giải

Ta có:

= tan x – cot x.

Theo đề:

⟹ Chọn C

Câu 22. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số và . Tính .

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta có

d (cos² x + 4 sin² x) = (–2 sinx cosx + 8sinx cosx) dx = 6 sinx cosx dx = 3 sin2x dx

Do đó =

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 23. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số trên khoảng thỏa mãn F (2) = 0. Khi đó phương trình F(x) = x có nghiệm là:

A. x = 0

B. x = 1

C. x = –1

Hướng dẫn giải

Ta có:

Mặt khác:

Vậy

Xét phương trình F(x) = x

⟹ Chọn D

Câu 24. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng (0; +∞) và . Tổng S = F (1) + F (2) + F (3) + … + F (2019) là

Hướng dẫn giải

Phân tích

Khi đó

Mặt khác

Vậy

Do đó S = F (1) + F (2) + F (3) + … + F (2019) =

⟹ Chọn C

Câu 25. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục xác định trên ℝ thỏa mãn , f(x) > 0 và , ∀ x ∊ ℝ. Giá trị f (1) là:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Suy ra

Theo giả thiết , suy ra

Với C = 3 thì

Vậy

⟹ Chọn D

Câu 26. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [–2; 1] thỏa mãn f (0) = 3 và (f(x))². f’(x) = 3x² + 4x + 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [–2; 1] là:

Hướng dẫn giải

Ta có: (f(x))². f’(x) = 3x² + 4x + 2 (*)

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:

⇔ f ³(x) = 3x³ + 6x² + 6x + 3C

Theo giả thiết, ta có f (0) = 3 nên

(f (0))³ = 3 (0³ + 2. 0² + 2. 0 + C) ⇔ 27 = 3C ⇔ C = 9 ⇒ f ³(x) = 3x³ + 6x² + 6x + 27

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 3x³ + 6x² + 2x + 27 trên đoạn [–2; 1].

Ta có g’(x) – 9x² + 12x + 6 > 0, ∀ x ∊ [–2; 1] nên đồng biến trên đoạn [–2; 1].

Vậy

⟹ Chọn C

Dạng 2. Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = u(x)

Phương pháp giải

Định lí: Cho và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Các bước thực hiện đổi biến:

Xét

Bước 1

Đặt u = u(x), suy ra du = u’(x) dx

Bước 2

Chuyển nguyên hàm ban đầu về ẩn u ta được , trong đó F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u).

Bước 3

Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm cần tìm là I = F(u(x)) + C

Hệ quả: nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K và a, b ∊ ℝ; a ≠ 0 ta có:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Nguyên hàm F(x) của hàm số , biết là:

Hướng dãn giải

Đặt u = x³ + 1 ta có

Suy ra

Do đó

Mặt khác nên C = 0. Vậy

⟹ Chọn D

Lưu ý: Ta có thể viết như sau:

Chú ý: Với các viết , ta có tính nguyên hàm đã cho một cách đơn giản và nhanh gọn.

Câu 2. Nguyên hàm là

Hướng dẫn giải

Đặt u = 1 + 3 cosx, ta có du = –3 sinx dx hay .

Khi đó

Vậy =

⟹ Chọn C

Câu 3. , (a, b ∊ ℤ⁺). Tìm tỉ lệ .

Hướng dẫn giải

Đặt

Và thì

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho và .

Tính A = a² + b² + 2018.

A. 2018

B. 2016

C. 2022

D. 2020

Hướng dẫn giải

Đặt u = cos x ⇒ –du = sinx dx.

A = a³ + b³ + 2018 = (a + b)² – 2ab (a + b) + 2018 = 2018.

⟹ Chọn A

Chú ý: Với a > 0 và m, n ∊ ℤ; n > 0 ta luôn có:

Câu 5. Nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Đặt . Suy ra x = u² – 1 và dx = 2udu.

Khi đó

Vậy

⟹ Chọn D

Câu 6. Nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Xét

Đặt . Suy ra x² = u² – 9 và xdx = udu.

Khi đó

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 7. Nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn B

Câu 8. Nguyên hàm là

Hướng dẫn giải

Xét

Đặt

Suy ra

Lưu ý:

⟹ Chọn C

Câu 9. Xét nguyên hàm . Đặt , khẳng định nào sau đây sai?

Hướng dẫn giải

Đặt

Khi đó

⟹ Chọn C

Câu 10. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin² 2x. cos³ 2x thỏa . Giá trị F (2019π) là:

Hướng dẫn giải

Đặt

Ta có

Vậy

Do đó

⟹ Chọn A

Câu 11. Biết rằng (với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của phương trình g(x) = 0. Tổng các phần tử của S bằng:

A. 0

C. –3

Hướng dẫn giải

Vì x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1 = (x² + 3x) (x² + 3x + 2) + 1 = [(x² + 3x) + 1]² nên ta đặt u = x² + 3x, khi đó du = (2x + 3) dx

Nguyên hàm ban đầu trở thành

Suy ra

Vậy

Do đó

Tổng giá trị các phần tử của S bằng –3.

⟹ Chọn C

Câu 12. . Tính F (1), biết rằng F(x) không chứa hệ số tự do.

Hướng dẫn giải

Đặt

⟹ Chọn A

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến dạng 2

Phương pháp giải

Ta đã biết các đẳng thức sau:

sin² t + cos² t = 1, với mọi t ∊ ℝ.

(k ∊ ℤ)

Với các bài toán sau đây thì ta không thể giải quyết ngay bằng nguyên hàm cơ bản cũng như đổi biến số ở dạng 1, đòi hỏi người học phải trang bị tư duy đổi biến theo kiểu “lượng giác hóa” dựa vào các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản và một số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem các nguyên hàm sau đây:

Các kỹ thuật đổi biến dạng 2 thường gặp và cách xử lí

Bài toán 1: Tính

Đặt x = |a| sint, với hoặc x = |a| cost với t ∊ (0; π)

Bài toán 2: Tính

Đặt x = |a| tant, với

Bài toán 3: Tính

Đặt x = a cos2t với

Bài toán 4: Tính

Đặt x = a + (b – a) sin² t với

Bài toán 5: Tính

Đặt với

Bài tập vận dụng

Câu 1. Nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Đặt x = 2 sint với . Ta có cost > 0 và dx = 2 costdt.

Khi đó vì cost > 0, ∀

Suy ra

Từ và

Vậy =

⟹ Chọn D

Câu 2. Nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Đặt x = cost, t < 0 < π ⇒ dx = –sint dt

Khi đó

Vậy =

⟹ Chọn B

Câu 3. Nguyên hàm là:

A. arctan x + C

B. arccot x + C

C. arcsin x + C

D. arccos x + C

Hướng dẫn giải

Đặt x = tant với , ta có dx = (1 + tan² t) dt.

Khi đó

Vậy = arctan x + C

⟹ Chọn A

Dạng 4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp giải

Với u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì ta có: (u. v)’ = u’v. v’u

Viết dưới dạng vi phân d (uv) = vdu + udv

Khi đó lấy nguyên hàm hai vế ta được:

Từ đó suy ra (1)

Công thức (1) là công thức nguyên hàm từng phần.

Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Bài toán: Tìm , trong đó u(x) và v(x) là hai hàm số có tính chất khác nhau, chẳng hạn:

u(x) là hàm số đa thức, v(x) là hàm số lượng giác.

u(x) là hàm số đa thức, v(x) là hàm số mũ.

u(x) là hàm số logarit, v(x) là hàm số đa thức.

u(x) là hàm số mũ, v(x) là hàm số lượng giác.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Bước 1: Đặt

Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được:

Lưu ý: Đặt u(x) (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Tức là, nếu có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không có logarit thì ưu tiên u là đa thức,… thứ tự ưu tiên sắp xếp như thế.

Còn đối với nguyên hàm ta chỉ cần Chọn một hằng số thích hợp. Điều này sẽ được làm rõ qua các Bài tập minh họa ở cột bên phải.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Kết quả nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Đặt

Khi đó

⟹ Chọn D

Chú ý: Thông thường thì với

Tuy nhiên trong trường hợp này, ta để ý mang lại sự hiệu quả.

Câu 2. Kết quả nguyên hàm là:

A. (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x + 2 ln |cosx| + C

B. (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x – 2 ln |cosx| + C

C. (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x + 2 ln (cosx) + C

D. (cotx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x – 2 ln |cosx| + C

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Đặt

Khi đó

= (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x – 2 ln |cosx| + C

Chú ý: Ở bài tập này, Chọn v = tanx + 2 có thể rút gọn được ngay tử và mẫu trong nguyên hàm

Câu 3. Kết quả nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên u = x² là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể như sau:

Bước 1: Chia thành 3 cột:

Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0.

Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo.

Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1.

Bước 2: Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (–), (+), (–), … rồi cộng các tích lại với nhau.

Tính nguyên hàm bằng phương pháp sơ đồ đường chéo

Khi đó:

⟹ Chọn D

Chú ý:

Kĩ thuật này rất đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian.

Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm và nguyên hàm ở hai cột 1 và 3. Nếu nhầm lẫn thì rất đáng tiếc.

Câu 4. Nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn.

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 5. Nguyên hàm là:

A. 2e^x (sinx + cosx) + C

B. 2e^x (sinx – cosx) + C

Hướng dẫn giải

Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn. Ở đây, để tìm được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong bài tập 3. Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao? Khi nào sẽ dừng lại?

Tính nguyên hàm bằng phương pháp sơ đồ đường chéo

Khi đó, ta sẽ có thể kết luận

Hay 2I = e^x sinx – e^x. cos x. Vậy

⟹ Chọn C

Chú ý: Chỉ dừng lại khi đạo hàm của nó có dạng giống dòng đầu tiên. Dòng cuối thu được

Câu 6. Tìm , trong đó v(x) là hàm đa thức, n ∊ ℕ^* và a, b ∊ ℝ; a ≠ 0

Hướng dẫn giải

Phân tích: Vì ưu tiên u(x) = lnⁿ (ax + b) nên và tiếp tục đạo hàm thì cột 1 sẽ không về 0 được, vì vậy phải chuyển lượng từ cột 1 sang nhân với v(x) ở cột 3 để rút gọn bớt; tiếp tục quá trình như thế nào cho đến khi đạo hàm cột 1 về 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường.

Bài tập 6.1: Kết quả nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Vậy =

⟹ Chọn A

Chú ý: chuyển lượng bên cột 1 sang nhân với ta thu được kết quả . Khi đó bên cột 1 còn lại 1, đạo hàm của nó bằng 0; bên cột 3 có nguyên hàm của là .

Câu 6.2. Kết quả nguyên hàm là:

Hướng dẫn giải

Vậy

⟹ Chọn B

Chú ý:

Chuyển , nhân với (2x² – x) thu được (6x – 3).

Chuyển , nhân với (3x² – 3x) thu được (6x – 6).

Chuyển , nhân với (3x² – 6x) thu được (3x – 6).

Câu 7. Cho F(x) = (x – 1) e^x là một nguyên hàm f(x) e^2x. Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Nguyên hàm của hàm số f’(x) e^2x là:

A. (2 – x) e^x + C

B. (2 + x) e^x + C

C. (1 – x) e^x + C

D. (1 + x) e^x + C

Hướng dẫn giải

Ta có F’(x) = f(x) e^2x ⇔ e^x + (x – 1) e^x = f(x). e^2x ⇔ f(x). e^2x = x. e^x.

Xét

Đặt

Do đó

Vậy

⟹ Chọn A

Dạng 5. Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm

Phương pháp giải

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = S(t), với S(t) là quãng đường mà chất điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu.

Gọi v(t) và a(t) lần lượt là vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta có:

v(t) = S’ (t) và a(t) = v’(t).

Từ đó ta có: và

Bài tập vận dụng

Câu 1. Một vật chuyển động với gia tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

A. 10 m/s

B. 15,2 m/s

C. 13,2 m/s

D. 12 m/s

Hướng dẫn giải

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức:

Vì vận tốc ban đầu (lúc t = 0) của vật là v₀ = 6 m/s nên:

v (0) = 3 ln|0 + 1| + C = 6 ⇔ C = 6 ⇒ v(t) = 3 ln|t + 1| + 6.

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: v (10) = 3 ln|10 + 1| + 6 ≈ 13,2 (m/s).

⟹ Chọn C

Câu 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

A. 5,6 m/s

B. 6,51 m/s

C. 7,26 m/s

D. 6,8 m/s

Hướng dẫn giải

Vận tốc v(t) chính là nguyên hàm của gia tốc a(t) nên ta có:

Tại thời điểm ban đầu (t = 0) thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là:

Vậy công thức vận tốc là

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v (5) = 6,51 m/s.

⟹ Chọn B

Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là . Ta tính , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v₀ = 6 m/s. Suy ra công thức tính vận tốc v(t) tại thời điểm t và tính được v(10).

Câu 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đát với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

A. 0,45 m/s

B. 0,4 m/s

C. 0,6 m/s

D. 0,8 m/s

Hướng dẫn giải

Xem như tại thời điểm t₀ = 0 thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có s (0) = 0 và v (0) = 20.

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là sⁿ (t) = –9,8 m/s².

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là

Do v (0) = 20 nên –9,8t + C₁ = 20 ⇔ C₁ = 20 ⇒ v(t) = –9,8t + 20.

Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v (2) = –9,8. 2 + 20 = 0,4 (m/s).

⟹ Chọn B

Tài liệu hay nhất về nguyên hàm

Dưới đây là một số tài liệu hay nhất cho chuyên đề nguyên hàm, công thức nguyên hàm và các dạng toán ứng dụng. Bạn có thể lựa chọn tài liệu phù hợp thông qua phần miêu tả sau đó tải về để tiện cho việc tra cứu hoặc làm bài tập. Các tài liệu đều được đóng bằng file PDF.

1. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Thông tin tài liệu

Thông tin tài liệu
Tác giả	GeoGebraPro
Số trang	827
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu

Nguyên hàm và tính chất
Phương pháp tính nguyên hàm
Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Bảng nguyên hàm cơ bản
Bảng nguyên hàm mở rộng
Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Nguyên hàm từng phần

Xem tài liệu

2. Các dạng bài tập VDC nguyên hàm và một số phương pháp tìm nguyên hàm

Thông tin tài liệu

Thông tin tài liệu
Tác giả	Verbalearn
Số trang	31
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu

Nguyên hàm và tính chất
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng các phép biến đổi sơ cấp
Dạng 2: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u =u(x)
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến dạng 2
Dạng 4: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Dạng 5: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm

Xem tài liệu

3. Tính nhanh nguyên hàm – tích phân từng phần sử dụng sơ đồ đường chéo

Thông tin tài liệu

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Ngô Quang Chiến
Số trang	7
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu

Nhắc lại kiến thức nguyên hàm
Dạng 1: Tính nguyên hàm của f(x). e^(ax + b)
Dạng 2: Tính nguyên hàm của f (x).sin(ax + b)dx; và nguyên hàm của f (x).cos(ax + b)dx
Dạng 3: Tính nguyên hàm của f(x).ln^n(ax+b)dx
Dạng 4: Tính nguyên hàm lặp
Bài tập vận dụng có đáp án