Xin chào tất cả các bạn, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách xét dấu tam thức bậc hai.
Tương tự như việc xét dấu nhị thức, việc xét dấu tam thức bậc hai là việc làm rất thường gặp khi giải toán, đặc biệt là khi giải các dạng toán như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình, hệ bất phương trình, …
Và ở trong bài viết này mình sẽ trình bày với các bạn 4 cách khác nhau để thực hiện xét dấu tam thức bậc 2, tùy thuộc vào thói quen, bài toán cụ thể mà các bạn hãy cân nhắc lựa chọn sao cho phù hợp nhé.
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a \in R^*, b \in R, c \in R$
Một cách nôm na ta có thể hiểu tam thức bậc hai là đa thức có ba số hạng.
Ví dụ: $f(x)=x^2-3x+2, g(x)=x^2-2x+1, h(x)=x^2+2x+3$ là những tam thức bậc hai.
Okay, bây giờ chúng ta sẽ đi qua từng mục nhé, cũng rất đơn giản thôi các bạn ạ !
Trường hợp 1. $\Delta<0$ không nhất thiết phải lập bảng xét dấu.
Trường hợp 2. $\Delta=0$ và $-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$
Trường hợp 3. $\Delta>0$ và $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$
Giả sử $x_1<x_2$
Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ $(a \neq 0), \Delta=b^2-4ac$
Chúng ta sẽ sử dụng mẹo nhớ “khoảng cuối cùng dấu với hệ số $a$ qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép giữ nguyên dấu”
Đây là mẹo nhớ của mình, tùy vào cách tư duy và thói quen mà sẽ có những mẹo nhớ khác. Tuy nhiên, tất cả đều có chung một ý nghĩa và đều được suy ra từ định lý trên.
Giả sử tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ có hai nghiệm phân biết là $x_1, x_2$ và $x_1<x_2$
Thực hiện tương tự để xét dấu f(x) khi x thuộc khoảng $(x_1, x_2); (x_2, +\infty)$
Mình không khuyến khích các bạn sử dụng cách này và cách này cũng chỉ sử dụng được khi tam thức có nghiệm
Phân tích tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ thành tích của hai nhị thức $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ với $x_1, x_2$ là nghiệm của tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$
Xét dấu tích của hai nhị thức rồi suy ra dấu của tam thức
Ví dụ 1. Xét dấu tam thức $f(x)=x^2-3x+2$
Lời giải:
$f(x)=x^2-3x+2$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=1, x_2=2$ và hệ số $a=1>0$
Ta có bảng xét dấu:
Vậy:
Ví dụ 2. Xét dấu tam thức $g(x)=x^2-2x+1$
Lời giải:
$g(x)=x^2-2x+1$ có một nghiệm kép duy nhất $x=1$ và hệ số $a=1>0$
Ta có bảng xét dấu:
Vậy:
Ví dụ 3. Xét dấu tam thức $h(x)=x^2+2x+3$
Lời giải:
Cách 1. $h(x)$ có $\Delta=-8<0$ và hệ số $a=1>0$ nên $h(x)>0$ với mọi $x \in (-\infty, +\infty)$
Cách 2. $h(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0$ với mọi $x \in (-\infty, +\infty)$
Tương tự tích, thương của các nhị thức bậc nhất, ta cũng có thể xét dấu tích, thương của các tam thức bậc hai một cách khá là đơn giản.
Ví dụ 5. Xét dấu $f(x)=\frac{(x^2-3x+2)(x^2-2x+1)}{x^2+2x+3}$
Lời giải:
Vì $x^2+2x+3=(x+1)^2>0$ mọi $x \in (-\infty, +\infty)$ nên f(x) xác định với mọi $x \in (-\infty, +\infty)$
Các tam thức $x^2-3x+2, x^2-2x+1$ có các nghiệm lần lượt là $1, 2, 1$ (nghiệm kép)
Các nghiệm được viết theo thứ tự tăng dần là $1, 2$
Các nghiệm này chia khoảng $(-\infty, +\infty)$ thành ba khoảng là $(-\infty, 1); (1,2); (2, +\infty)$
Vậy …
Về cơ bản có bốn cách để xét dấu tam thức bậc hai, cá nhân mình cho rằng Cách 2 và Cách 3 là tối ưu nhất với hầu hết các trường hợp.
Thật vậy, …
Hi vọng là qua bài viết này thì bạn đã hiểu hơn về dấu của tam thức bậc hai. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
Đọc thêm:
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 4 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !
Link nội dung: https://khoayduoc.edu.vn/tam-thuc-bac-2-la-gi