2.4. Ma trận nghịch đảo

By Admin 27/03/2024 0

Cho $A$ là yêu tinh trận vuông cung cấp $n$, nếu như tồn bên trên yêu tinh trận $B$ vuông cung cấp $n$ sao cho tới $A.B=B.A=I$ thì tớ trình bày $A$ khả hòn đảo và $B$ là yêu tinh trận nghịch tặc hòn đảo của $A$, kí hiệu $A^{-1}$. 

Cách 1: Áp dụng ấn định lý 2.

Bước 1: Tìm $\det \left(A\right)$.

- Nếu $\det \left(A\right)=0$ thì tóm lại ko tồn bên trên yêu tinh trận nghịch tặc hòn đảo của A.

- Nếu $\det \left(A\right)\ne 0$ thì tính toàn bộ những thành phần $c_{ij} $ của yêu tinh trận $C$.

Bước 2: Lập yêu tinh trận $C$, suy rời khỏi yêu tinh trận $C^{t} $.

Bước 3: Thực hiện nay quy tắc nhân số $\dfrac{1}{\det (A)} $ với yêu tinh trận $C^{t} $ ta với yêu tinh trận $A^{-1} $.

Ví dụ 5. Tìm yêu tinh trận nghịch tặc hòn đảo của yêu tinh trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {-3} \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. 

Ta với, $\det (A)=-3\ne 0$ nên tồn bên trên $A^{-1} $.

$$c_{11} =\left(-1\right)^{1+1} \det \left(M_{11} \right)=-3;\quad c_{12} =\left(-1\right)^{1+2} \det \left(M_{12} \right)=0$$$$c_{21} =\left(-1\right)^{2+1} \det \left(M_{21} \right)=-2;\quad  c_{22} =\left(-1\right)^{2+2} \det \left(M_{22} \right)=1$$ Do cơ $C=\left[\begin{array}{cc} {-3} & {0} \\ {-2} & {1} \end{array}\right] \Rightarrow C^{t} =\left[\begin{array}{cc} {-3} & {-2} \\ {0} & {1} \end{array}\right]$.

Xem thêm: Những bức tranh phong cảnh nổi tiếng của các họa sĩ lừng danh thế giới

Vậy, $A^{-1} =\dfrac{C^{t} }{\det (A)} =-\dfrac{1}{3} \cdot \left[\begin{array}{cc} {-3} & {-2} \\ {0} & {1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {1} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {-\frac{1}{3} } \end{array}\right]$.

Cách 2. Áp dụng cách thức Gauss-Jordan (biến thay đổi sơ cấp)

Bước 1: Viết yêu tinh trận đơn vị chức năng $I$ kề bên yêu tinh trận $A$ ($I$ và $A$ là 2 yêu tinh trận nằm trong cấp)

Bước 2: kề dụng những quy tắc thay đổi sơ cung cấp trả dần dần $A$ về yêu tinh trận đơn vị chức năng, hiệu quả mặt khác những quy tắc thay đổi sơ cung cấp cơ vô yêu tinh trận $I$ ở kề bên. Khi ở cột $A$ xuất hiện nay yêu tinh trận đơn vị chức năng thì cột còn sót lại là $A^{-1} $.    

Ví dụ 6. Tìm yêu tinh trận nghịch tặc hòn đảo của yêu tinh trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {-3} \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. 

Ta với, $\det (A)=-3\ne 0$ nên tồn bên trên $A^{-1} $.

Trước không còn, tớ trả thành phần $a_{22} $ trong yêu tinh trận $A$ về số 1.

Xem thêm: 4 cách kết nối iPhone với tivi

Tiếp theo đuổi, trả thành phần $a_{12} $ vô yêu tinh trận mới nhất về số 0.

Ta hoàn toàn có thể trình diễn như sau:

Tìm yêu tinh trận nghịch tặc hòn đảo theo đuổi nhị cách

Vậy $A^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {1} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {-\frac{1}{3} } \end{array}\right]$.