Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số - Lý Thuyết Và Bài Tập Có Lời Giải

1.  Lý thuyết số lượng giới hạn của mặt hàng số

1.1. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn 0

Định nghĩa: Nếu với từng số dương nhỏ tùy ý  từng số hạng của mặt hàng số, Tính từ lúc một trong những hạng này cơ trở lên đường, đều phải có độ quý hiếm vô cùng nhỏ rộng lớn số dương cơ thì mặt hàng số (un) cơ sở hữu số lượng giới hạn 0.

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số - Lý Thuyết Và Bài Tập Có Lời Giải

Tính chất:

$lim \frac{1}{n}=0; lim\frac{1}{n^{\alpha}}=0(\alpha>0); limq^{n}=0(\left | q \right |<1)$

Định lý:

$u_{n},v{n}:\left\{\begin{matrix} \left | u_{n} \right | \leq v_{n}\\ lim(v_{n})=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow lim \, u_{n}=0$

1.2. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn là mặt hàng số lim (un – L) = 0(L là số thực) 

Tính chất:  

• $u_{n}=c$, sở hữu số lượng giới hạn là c;

• $lim \,u_{n}=L \Leftrightarrow \left | u_{n}-L \right |$ bên trên trục số từ thực điểm $u_{n}$ cho tới L trở thành nhỏ từng nào cũng khá được miễn sao n đầy đủ lớn

Nói một cơ hội hình hình họa Lúc N tăng thì những điểm $u_{n}$ “chụm lại” 

• Không cần mặt hàng số này cũng đều có số lượng giới hạn hữu hạn

Định lý:

• Với $lim(u_{n})=L$ thì tao sở hữu lăm le lý:

$lim\left | u_{n} \right |=\left | L \right |$ và $lim\sqrt[3]{u_{n}}=\sqrt[3]{L}$.

Nếu $u_{n}\geq 0$ với $\forall n$ thì $L\geq 0$ và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{L}$

• Nếu $lim\, u_{n}=L, lim\, v_{n}=M$ và c là 1 trong hằng số thì tao hoàn toàn có thể suy ra

$lim(u_{n}+v_{n})=L+M$

$lim(u_{n}-v_{n})=L-M$

$lim(u_{n},v_{n})=LM$

$lim(cu_{n})=cL$

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{L}{M}$(nếu $M\neq 0$)

1.3. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn vô cực

1.3.1. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn $+\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số dương tuỳ ý mang đến trước, từng số hạng của mặt hàng số, Tính từ lúc một trong những hạng này cơ trở lên đường, đều to hơn số dương cơ thì tao gọi này là mặt hàng số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn $+\infty$

Hay tao hoàn toàn có thể hiểu, $lim \, u_{n}=+\infty$ vô tình huống $u_{n}$ hoàn toàn có thể to hơn một trong những dương rộng lớn tuỳ ý, Tính từ lúc số hạng này cơ trở đi

Tính chất: 

$lim\sqrt{u_{n}}=+\infty$

$lim\sqrt[3]{u_{n}}=+\infty$

$lim\,n^{k}=+\infty$ với một trong những nguyên vẹn dương k mang đến trước

Trường thích hợp đặc biệt: $lim \, q^{n}=+\infty$

$lim \, q^{n}=+\infty$ nếu q > 1

1.3.2. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn $-\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số âm tuỳ ý mang đến trước, từng số hạng của mặt hàng số, Tính từ lúc một trong những hạng này cơ trở lên đường, đều nhỏ rộng lớn số âm cơ thì tao rằng này là mặt hàng số sở hữu số lượng giới hạn $-\infty$

Ký hiệu:  $lim \, u_{n}=-\infty$

Hay t hoàn toàn có thể hiểu, $lim \, u_{n}=-\infty$ nếu un hoàn toàn có thể nhỏ rộng lớn một trong những âm nhỏ tùy ý.

Tính chất: 

$lim\, u_{n}=-\infty \Leftrightarrow lim(-u_{n})=+\infty$

Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì un trở thành rộng lớn từng nào cũng khá được miễn n đầy đủ rộng lớn. Do cơ $\left | \frac{1}{u_{n}} \right |=\frac{1}{\left [ u_{n} \right ]}$ trở thành nhỏ từng nào cũng khá được, miễn n đầy đủ rộng lớn. Nói cách thứ hai, nếu như limun=+ thì lim 1un=0

• Định lý: Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì $lim\frac{1}{u_{n}}=0$

Tham khảo ngay lập tức cỗ tư liệu ôn tập luyện kỹ năng và tổ hợp cách thức giải từng dạng bài bác tập luyện vô đề đua Toán trung học phổ thông Quốc gia

2. Các dạng toán về số lượng giới hạn của mặt hàng số và ví dụ

2.1. Dạng 1: Tính số lượng giới hạn mặt hàng số được mang đến vì như thế công thức.

Ví dụ 1: Tìm $lim(n^{3}-2n+1)$?

Lời giải:

Ta có: $n^{3}-2n+1=n^{3}(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}$

Vì $lim\, n^{3}=+\infty$ và $lim(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}=1>0$ nên theo đuổi quy tắc 2, $lim(n^{3}-2n+1)=+\infty$

Ví dụ 2: Tìm $lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}$

Lời giải:

$lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}=lim\sqrt[3]{8-\frac{3}{n}}=\sqrt[3]{8}=2$

Ví dụ 3: 

a. Tìm $A=lim\frac{2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+2}$

b. Tìm $B=\frac{n^{3}-3n^{2}+2}{n^{4}+4n^{3}+1}$

Lời giải:

2.2. Dạng 2: Tính số lượng giới hạn của mặt hàng số mang đến vì như thế hệ thức truy hồi

Ví dụ 1: Cho mặt hàng số $(u_{n})$ được xác lập vì như thế $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ với từng n ≥ 1. sành mặt hàng số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn, tính $lim\, u_{n}$

Lời giải:

Đặt $lim\, u_{n}=L \Rightarrow L=lim\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ 

$\Rightarrow L^{2}-L-2=0\Rightarrow L=2$ hoặc L = -1( loại)

Vậy $lim\, u_{n}=2$

Ví dụ 2: Cho $(u_{n})$ sở hữu $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải:

Sử dụng cách thức quy hấp thụ tao chứng tỏ được $u_{n}>0 \forall n$

Tuy đề bài bác ko cung ứng tài liệu là mặt hàng số $(u_{n})$có số lượng giới hạn hữu hạn hay là không tuy nhiên coi đáp án đề bài bác cho thật đều là những số lượng giới hạn hữu hạn. Nhớ cơ, tao thể xác minh được mặt hàng số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn.

Đặt $lim\, u_{n}=L\geq 0$

$lim\, u_{n+1}=lim\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$

Hay $L=\frac{1}{2}(L+\frac{2}{L})\Rightarrow L=\frac{2}{L}\Rightarrow L^{2}=2\Rightarrow L=\sqrt{2}$

Vậy $lim\, u_{n}=\sqrt{2}$ 

Ví dụ 3: Cho mặt hàng số $(u_{n})$ xác lập vì như thế $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=2u_{n}+\frac{1}{2}$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải: 

$v_{n}=u_{n}+\frac{1}{2}$. Ta có: $v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2u_{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2(u_{n}+\frac{1}{2})=2v_{n}$

$\Rightarrow (v_{n})$ là cấp cho số nhân sở hữu $v_{1}=\frac{3}{2}$ và q = 2. Vậy $v_{n}=\frac{3}{2}.3^{n-1}=3.2^{n-2}$

Do cơ $lim\, v_{n}=lim(3.2^{n-2})=+\infty$

2.3. Dạng 3: Tính số lượng giới hạn của mặt hàng số chứa chấp căn thức

Ví dụ 1: Tính $lim\sqrt{n^{2}+2n}-n$ 

Lời giải: 

$lim(\sqrt{n^{2}+2n-n}=lim\frac{(\sqrt{n^{2}+2}n)+(\sqrt{n^{2}+2n}-n)}{(\sqrt{n^{2}+2n}+n)}=lim\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}$

$=lim\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=lim{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của $I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$

Lời giải: 

$I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$
$=lim\frac{(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)}{\sqrt{n^{2}-2n+3}-n}$
$=lim\frac{(n^{2}-2n+3)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2n+3}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}+1}$
$=\frac{-2}{\sqrt{1}+1}=-1$

Ví dụ 3: Tìm $lim(n-\sqrt[3]{n^{3}+3n^{2}+1}$

Lời giải:

2.4 Dạng 4: Tính số lượng giới hạn của mặt hàng số hữu tỉ

Ví dụ 1: Cho a = 2.151515..., số a còn được màn biểu diễn bên dưới dạng $a=\frac{m}{n}$, (m,n là những số nguyên vẹn dương). m + n =?

Lời giải: 

Ta có: $a=2,151515...=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$ là tổng của csn lùi vô hạn với $u_{1}=\frac{15}{100},q=\frac{1}{100}$

Xem thêm: 1 sào bằng bao nhiêu m2 - Cách quy đổi chuẩn nhất

$\Rightarrow a=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$

Vậy $m=71, n=33 \Rightarrow m+n=104$

Ví dụ 2: Bài mang đến số thập phân vô hạn tuần trả sở hữu dạng 0,32111... Cũng được viết lách bên dưới dạng phân số tối giản là $\frac{a}{b}$ (a,b là những số nguyên vẹn dương). a - b =?

Lời giải:

Ta có:

$0,3211...=\frac{32}{100}+\frac{1}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{5}}+...=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{10^{3}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$
Vậy a = 289, b = 900 Do cơ, a - b = -611

Ví dụ 3: Tính $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]$

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$

Vậy $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]=lim\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}$

2.5 Dạng 5: Tính số lượng giới hạn của mặt hàng số chứa chấp lũy quá - mũ 

Ví dụ 1: $lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=?$

Lời giải:

$lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=lim\frac{4(\frac{4}{8})^{n}+36(\frac{6}{8})^{n}}{(\frac{5}{8})^{n}+1}=0$

Ví dụ 2: $lim\frac{2^{n}-3^{n}}{2^{n}+1}=?$

Lời giải:

Ví dụ 3: $lim(3.2^{n}-5.3^{n}+7n)=?$

Lời giải:
$lim(3.2^{n}-5.3{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7)=-\infty$

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô ôn tập luyện và thiết kế quãng thời gian ôn đua trung học phổ thông môn Toán sớm đạt 9+

3. Một số bài bác tập luyện về số lượng giới hạn của mặt hàng số kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên (Có câu nói. giải)

Ví dụ 1: Xác lăm le những số lượng giới hạn mang đến lưới đây:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$

Lời giải:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}=lim\frac{n(6-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{2}{n})}=lim\frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{6-9}{3-0}=2$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}=limn23+1n-5n2n23+2n=lim{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{3}{2}$

Ví dụ 2: lim(5ⁿ - 2ⁿ)

Lời giải:

Ta có: $5^{n}-2^{n}=5^{n}(1-(\frac{2}{5}^{n})$

Vì $lim5^{n}=+\infty$ và $lim(1-(\frac{2}{5}^{n})=1>0$ nên theo đuổi quy tắc 2, $lim(5^{n}-2^{n})=+\infty$

Ví dụ 3: Tìm lim(3.2ⁿ⁺¹ - 5.3ⁿ + 7n) =?

Lời giải: 

$lim(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7\frac{n}{3^{n}}=-\infty$
Ví dụ 4: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập u₁=0, u₂=1, u_n+1=2u_n-u_n-1+2 với từng $n\geq 2$. Tìm lim u_n?

Lời giải: 

Giả sử mặt hàng số bên trên sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn gọi  là L

$\Rightarrow lim\,u_{n}=2lim\,u_{n}-lim\,u_{n-1}+2\Leftrightarrow L=2L-L+2\Leftrightarrow 0=2$ ( Vô lý)

Vậy hoàn toàn có thể Dự kiến mặt hàng số sở hữu số lượng giới hạn vô vô cùng. Nhìn vô đáp án tao thấy sở hữu nhì đáp án vô vô cùng ($-\infty$ và $+\infty$), vậy ko thể đoán là đáp án này. Ta coi nhì cơ hội giải sau.

Ta có: u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 4, u₄ = 9. Vậy tao hoàn toàn có thể Dự kiến u_n = (n - 1)² với $\forall n\geq 1$. Khi cơ, 

u_n+1 = 2u_n - u_n-1 +2 = 2(n - 1)² - (n - 2² + 2) = n²

= [(n - 1) - 1]²

Vậy $u_{n}=(n-1)^{2}$ với $\forall n\geq 1$. Do cơ, $lim\,u_{n}=lim(n-1)^{2}=+\infty$

Ví dụ 5: Cho mặt hàng số (u_n) với $u_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2}$. Tìm lim u_n

Lời giải:

u_n là tổng n số hạng thứ nhất của một cấp cho số nhân sở hữu $u_{1}=\frac{1}{2}$ và $q = \frac{-1}{2}$

Do cơ $u_{n}=\frac{1}{2}.\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-(\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n}\Rightarrow lim\,u_{n}=lim\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n})=\frac{1}{3}$

Ví dụ 6: Tìm $lim\, u_{n}$, với $u_{n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}$.

Lời giải:

Ta có: $1+2+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow \frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}=\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}$

$\Rightarrow lim\, u_{n}=lim\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 7: Tìm $lim\frac{1+5+9+...+4n-3}{2+7+12+...+5n-3}$

Lời giải:

Tử thức là tổng của n số hạng thứ nhất của cấp cho số nằm trong (u_n) với n = 1, u_n = 4n -3 và công bội d = 4

Do cơ 1+ 5 + 9 +....+ 4n - 3 = 

Tương tự động tao cũng đều có 2 + 7 + 12 +...+ 5n - 3 = 

Như vậy 

Ví dụ 8: Tìm $D=lim\sqrt{n^{2}+2n}-\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}$ 

Lời giải:

Ta có: 

D = 

= 

= 

Ví dụ 9: Thực hiện nay tô điểm lại mái ấm của tớ, chú mèo Tom ra quyết định tô color một miếng vải vóc hình vuông vắn cạnh vì như thế 1, mèo Tom tô color xám những hình vuông vắn nhỏ được khắc số thứu tự là một trong những, 2, 3,., n,.., sành cạnh của hình vuông vắn trước gấp hai cạnh hình vuông vắn sau nó (Giả sử tiến độ tô color của mèo Tom hoàn toàn có thể ra mắt vô hạn).

a. Xác lăm le u₁,u₂,u₃ và u_n

b. Tính lim $S_{n}$ với S_n=u₁+u₂+u₃+...+u_n

Lời giải:

a. $u_{1}=\frac{1}{4}, u_{2}=\frac{1}{4}.(\frac{1}{4})=\frac{1}{4^{2}},..., u_{n}=\frac{1}{4^{n}}$

b. $lim S_{n}=lim14+142+...+14n=141-14=13$

Ví dụ 10: Tìm $lim(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n})$

Lời giải: 

Tham khảo ngay lập tức một trong những dạng bài bác tập luyện thông thường gặp gỡ về số lượng giới hạn hàm số với những thầy cô VUIHOC ngay

 Bài viết lách bên trên tiếp tục ra mắt cho những em phần lý thuyết cơ bạn dạng và những dạng bài bác về giới hạn của mặt hàng số. Đây là 1 trong phần kỹ năng khó khăn và cần thiết vô lịch trình toán 11 nên nhằm đạt được sản phẩm cực tốt những em học tập rất cần được nắm vững lý thuyết và tập luyện thêm thắt những dạng bài bác tập luyện. Các em học viên hoàn toàn có thể truy vấn nền tảng Vuihoc.vn và ĐK thông tin tài khoản nhằm luyện đề ngay lập tức thời điểm hôm nay nhé!

Bài viết lách xem thêm thêm:

• Cấp số nhân
• Cấp số cộng