Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian (cực hay).

---

---

Bài ghi chép Công thức tính Tích vô vị trí hướng của nhì vecto vô không khí với cách thức giải cụ thể gom học viên ôn luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác luyện Công thức tính Tích vô vị trí hướng của nhì vecto vô không khí.

Công thức tính Tích vô vị trí hướng của nhì vecto vô không khí (cực hay)

Bạn đang xem: Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian (cực hay).

Bài giảng: Các dạng bài bác luyện hệ trục tọa phỏng vô không khí - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Tích vô vị trí hướng của nhì vecto:

    a→.b→=a₁.b₁+ a₂.b₂+ a₃.b₃

+ a→⊥b→⇔a₁.b₁+ a₂.b₂+ a₃.b₃=0

+ a→²=a₁²+a₂²+a₃²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không khí với hệ trục tọa phỏng Oxyz, cho những vecto a→=(1;2;1),

b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→)

b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→

c) Tính những góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→- 2c→ )

d) Tìm m nhằm u→⊥(b→+d→)

e) Tìm m nhằm (u→,a→ )=60⁰

Quảng cáo

Lời giải:

a) a→ =(1;2;1),b→ =(3;-1;2)

⇒a→ .b→ =1.3+2.(-1)+1.2=3.

c→ =(4; -1; -3)⇒2c→ =(8; -2; -6)⇒ a→ -2c→ =(-7;4;7)

⇒b→ (a→ -2c→ )=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b→ .c→ =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→ .(b→ .c→ )=(7;14;7)

a→ .b→ =3⇒(a→ .b→ ) c→ =(12; -3; -9)

Vậy a→ .(b→ .c→ )≠(a→ .b→ ) c→

c) Ta có:

⇒(a→.b→ )≈71⁰

+ a→+ b→=(4;1;3),3a→- 2c→=(-5;8;9)

⇒cos( a→+b→,3a→- 2c→ )

⇒( a→ +b→ ,3a→ - 2c→ )≈77⁰

d) b→ +d→ =(6; -4; -3); u→ =(1;m;2)

u ⃗⊥(b→ +d ⃗ )⇔u→ .(b→ +d→ )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e)

(u→ ,a→ )=60⁰⇔cos⁡(u→ ,a→ )=1/2

Bài 2: Trong không khí hệ tọa phỏng Oxyz, cho tới nhì vecto a→,b→ sao cho tới (a→,b→ )=120⁰,

|a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ |

Lời giải:

Áp dụng công thức: a→ .b→ =|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )

Ta có: |a→ + b→ |²=(a→ + b→ )²=a→ ²+2a→ .b→ +b→ ²

=|a→ |²+|b→ |²+2|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a→ + b→ |=√7

Tương tự:

|a→ -2b→ |² =|a→ |²+4|b→ |²-4|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a→ -2b→ |=2√(13)

Quảng cáo

Bài 3: Trong không khí Oxyz, cho những điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tìm m sao cho tới tam giác ABD vuông bên trên A

c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Lời giải:

a) Ta có: AB→=(1;6;1); BC→=(5;-1;1)

⇒AB→.BC→=1.5+6.(-1)+1.1=0

⇒AB→⊥BC→⇒ΔABC vuông bên trên B.

b) AB→=(1;6;1); AD→=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông bên trên A ⇔AB→.AD→=0

⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0

⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3

c) AB→=(1;6;1); AC→=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB→;AC→ )

⇒Â≈40⁰

B. Bài luyện vận dụng

Bài 1: Cho những vectơ u→(u₁;u₂;u₃) và v→(v₁;v₂;v₃), u→. v→=0 Lúc và chỉ khi:

   A. u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=0

   B. u₁+v₁+u₂+v₂+u₃+v₃=0

   C. u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=1

   D. u₁v₂+u₂v₃+u₃v₁=-1

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 2: Cho nhì vectơ a→ và b→ tạo nên cùng nhau góc 60⁰ và |a→| =2; |b→| =4. Khi cơ |a→ + b→ | bằng:

   A. 2√7    B. 2√3

   C. 2√5   D. 2

Lời giải:

Đáp án : A

Giải mến :

|a→ + b→ |²=(a→ + b→ )²=|a→ |²+|b→ |²+2|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ + b→ )

=4+16+2.2.4.1/2=28

⇒|a→ + b→ |=2√7

Quảng cáo

Bài 3: Cho a→(-2;1;3), b→(1;2;m). Với độ quý hiếm nào là của m nhằm a→ vuông góc với b→ ?

   A. m=-1   B. m=1

   C. m=2   D. m=0

Lời giải:

Đáp án : D

Giải mến :

a→ vuông góc với b→ Lúc và chỉ Lúc a→ . b→=0

⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0

Bài 4: Tính cosin của góc thân thiện nhì vectơ a→ và b→ biết a→(8;4;1), b→(2;-2;1)

   A. 1/2   B. √(2)/2

   C. √(3)/2   D. 1/3

Lời giải:

Đáp án : D

Giải mến :

cos⁡(a→ , b→)

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi cơ số đo của góc BACˆ bằng:

   A. 30⁰    B. 90⁰

   C. 60⁰   D. 45⁰

Lời giải:

Đáp án : B

Giải mến :

AB→=(-3;0; -4); AC→=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB→ ; AC→)

⇒BACˆ=90⁰

Bài 6: Cho tư điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi cơ số đo của góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp AB và CD là :

   A. 30⁰    B. 45⁰

   C. 60⁰   D. 90⁰

Lời giải:

Đáp án : B

Giải mến :

AB→ =(-1;1;0); CD→ =(-2;1; -2)

Gọi góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch AB và CD là α

⇒α=45⁰

Bài 7: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, cho tới nhì vecto a→; b→. Trong những xác minh sau, xác minh nào là đúng:

   A. a→ .|b→ |=|a→ |.b→ với từng a→ ; b→

   B. ( a→ b→ )²=a→ ² . b→ ² với từng a→ ; b→

   C. |a→ . b→ | ≤|a→ |.|b→ | với từng a→ ; b→

   D. a→ . b→ =0 Lúc và chỉ Lúc a→ = 0→ hoặc b→ = 0→

Lời giải:

Đáp án : C

Giải mến :

VD: a→ =(2; -3;1), b→ =(1;1;1)

⇒|a→ |=√14; |b→ |=√3

a) a→ . |b→ |=(2√3; -3√3;√3)

|a→ |. b→ =(√14; √14; √14)

Xem thêm: Tím pastel hợp với màu gì? Các mẫu váy tím pastel xinh xắn 2024

⇒ a→ . |b→ |≠| a→ | . b→

b) a→ b→ =2.1-3.1+1.1=0

a→ ² . b→ ²=14.3=52

⇒( a→ b→ )²≠ a→ ² . b→ ²

d) a→ b→ =0 tuy nhiên a→ ≠ 0→ hoặc b→ ≠ 0→

Vậy a, b, d sai, c đích.

Bài 8: Trong không khí Oxyz, cho tới a→(-1;2;-3), b→(3;3;4), c→(5;0-1). Giá trị của a→ (b→ + c→ ) là:

   A. 8   B. 11

   C. -8   D. -11

Lời giải:

Đáp án : D

Giải mến :

b→ + c→ =(8;3;3)

⇒ a→ (b→ + c→ )=-1.8+2.3-3.3=-11

Bài 9: Cho 3 điểm A(2; 1; -3), B(–2; 2; –6), C(5; 0; –1). Tích AB→. AC→ bằng:

   A. -6   B. 65

   C. -19    D. 33

Lời giải:

Đáp án : C

Giải mến :

AB→ =(-4;1; -3); AC→=(3; -1;2)

⇒ AB→ . AC→ =-4.3+1.(-1)-3.2=-19

Bài 10: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz, ĐK nhằm a→ vuông góc với b→ là gì ?

   A. a→ . b→ =0   B. [ a→ , b→] = 0→

   C. a→ + b→ = 0→   D. a→ - b→ = 0→

Lời giải:

Đáp án : A

Giải mến :

Bài 11: Cho nhì vecto a→; b→thay thay đổi tuy nhiên luôn luôn thỏa mãn nhu cầu |a→|=5; |b→ |=3. Giá trị lớn số 1 của |a→ -2 b→ | là:

   A. 11   B. -1

   C. 1    D. √61

Lời giải:

Đáp án : D

Giải mến :

Ta có: |a→ - 2 b→ |² = ( a→ - 2 b→ )² = | a→ |² + 4| b→ |² - 4| a→ |.| b→ |.cos⁡( a→ ; b→ )

| a→ -2 b→ | lớn số 1 ⇔ | a→ - 2 b→ |² lớn số 1 ⇔cos⁡( a→ ; b→ )=0

Khi đó: | a→ - 2 b→ |²=| a→ |²+4| b→ |²=25+4.9=61

⇒|a→ - 2 b→ |=√61

Bài 12: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, cho tới phụ vương vectơ a→(-1;1;0), b→(1;1;0), c→(1;1;1,). Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai ?

   A. | a→|= √2    B. c→ ⊥ b→

   C. a→ ⊥ b→   D. | c→ |=√3

Lời giải:

Đáp án : B

Giải mến :

Ta có: c→ . b→=1.1+1.1+0.1=2≠0

⇒ Hai vecto c→ ; b→ ko vuông góc cùng nhau

Bài 13: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, cho tới tam giác ABC đem AB→=(-3;0;4), AC→=(5;-2;4). Độ lâu năm trung tuyến AM là:

   A. 3√2   B. 4√2

   C. 2√3   D. 5√3

Lời giải:

Đáp án : A

Giải mến :

Ta có: AB=|AB→ |=5; AC=|AC→ |=√45

cos⁡BACˆ =cos⁡(AB→ ; AC→ )

Ta có: BC²=AB²+AC² - 2AB.AC.cos⁡BACˆ =68

AM là trung tuyến

⇒AM=3√2

Bài 14: Cho | a→ |=2; | b→ |=5, góc thân thiện nhì vectơ a→ và b→ vị (2π)/3, u→ = k a→ - b→; v→ = a→ + 2 b→. Để u→ vuông góc với v→ thì k bằng?

   A. -45/6   B. 45/6

   C. 6/45   D. -6/45

Lời giải:

Đáp án : A

Giải mến :

u→ = k a→ - b→; v→ = a→ + 2 b→

⇒ u→ . v→ =(k a→ - b→ )(a→ +2 b→ )=k a→ ²-2 b→ ²+(2k-1) a→ . b→

Ta có: a→ . b→ =| a→ |.| b→ |.cos⁡( a→ ; b→ )=2.5.cos⁡(2π/3)=-5

⇒ u→ . v→ =4k-2.25+(2k-1).(-5)=-6k-45

Giả thiết: u→ và v→ vuông góc cùng nhau ⇒ u→ . v→ =0

⇒-6k-45=0 ⇔ k=(-45)/6

Bài 15: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz, cho tới a→=(x;2;1), b→ =(2;1;2), Tìm x biết cos( a→ , b→ )=2/3.

   A. x=1/2   B. x=1/3

   C. x=3/2   D. x=1/4

Lời giải:

Đáp án : D

Giải mến :

Bài 16: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz, cho tới A→ (-2;2;-1), B→ (-2;3;0), C→ (x;3;-1). Giá trị của x nhằm tam giác ABC đều là:

   A. x=-1   B. x=-3

   C.   D. x=1

Lời giải:

Đáp án : C

Giải mến :

AB→ =(0;1;1); AC→ =(x+2;1;0); BC→ =(x+2;0;-1)

Tam giác ABC đều ⇔ BACˆ= ABCˆ=60⁰

Khi đó:

⇔(x+2)² + 1=2⇔(x+2)²=1

Bài 17: Cho nhì vecto a→; b→ tạo nên cùng nhau một góc 60⁰. sành phỏng lâu năm của nhì vecto cơ theo thứ tự là 5 và 10. Độ lâu năm của vecto hiệu a→ - b→ là:

   A. 15   B. 5

   C. 75   D. √(75)

Lời giải:

Đáp án : D

Giải mến :

Ta có: | a→ - b→ |²=( a→ - b→ )²=| a→ |²+| b→ |²-2| a→ |.| b→ |.cos⁡( a→ ; b→ )

=25+100-2.5.10.cos⁡60⁰ =75

⇒|a→ - b→ |=√75

Bài 18: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz,cho tới tam giác ABC với A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB→ ; BC→ ).

Lời giải:

Đáp án : C

Giải mến :

AB→ =(1; -1;0); BC→ =(8; -5;3)

Bài 19: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, tam giác ABC đem A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

   A. 45⁰   B. 60⁰

   C. 30⁰   D. 120⁰

Lời giải:

Đáp án : A

Giải mến :

AB→=(-3; 0;-4); BC→=(7; 0;1)

⇒(AB→ ; BC→ )=135⁰

⇒ Bˆ=45⁰

Bài 20: Trong không khí Oxyz, cho tới nhì điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay cho thay đổi tuy nhiên luôn luôn thỏa mãn nhu cầu ĐK x²+y²+z²=4; m²+n²+p²=9. Vecto AB→ có tính lâu năm nhỏ nhất là:

   A. 5   B. 1

   C. 13   D. Không tồn tại

Lời giải:

Đáp án : B

Giải mến :

Ta có: OA = 2; OB = 3

AB≤|OA-OB|=1

Xem thêm: iPhone 13 có mấy màu? Mua màu nào đẹp nhất và mới nhất?

Dấu vị xẩy ra Lúc O ở ngoài đoạn AB.

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lốc xoáy Art of Nature Thiên Long color xinh xỉu
• Biti's rời khỏi kiểu mẫu mới mẻ xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

---

---