Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian (cực hay).



Bài viết Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian (cực hay)

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Tích vô hướng của hai vecto:

    a.b=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3

+ ab⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0

+ a2=a12+a22+a32

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a=(1;2;1),

b=(3;-1;2), c=(4; -1; -3),d=(3; -3; -5),u=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a.b; b(a-2c)

b) So sánh a.(b.c) và (a.b ) c

c) Tính các góc (a,b ), ( a+b,3a- 2c )

d) Tìm m để u⊥(b+d)

e) Tìm m để (u,a )=600

Quảng cáo

Lời giải:

a) a =(1;2;1),b =(3;-1;2)

a .b =1.3+2.(-1)+1.2=3.

c =(4; -1; -3)⇒2c =(8; -2; -6)⇒ a -2c =(-7;4;7)

b (a -2c )=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b .c =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a .(b .c )=(7;14;7)

a .b =3⇒(a .b ) c =(12; -3; -9)

Vậy a .(b .c )≠(a .b ) c

c) Ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒(a.b )≈710

+ a+ b=(4;1;3),3a- 2c=(-5;8;9)

⇒cos( a+b,3a- 2c )

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒( a +b ,3a - 2c )≈770

d) b +d =(6; -4; -3); u =(1;m;2)

u ⃗⊥(b +d ⃗ )⇔u .(b +d )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e)

(u ,a )=600⇔cos⁡(u ,a )=1/2

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a,b sao cho (a,b )=1200,

|a |=2; |b |=3. Tính |a+ b | và |a-2b |

Lời giải:

Áp dụng công thức: a .b =|a |.|b |.cos⁡(a ,b )

Ta có: |a + b |2=(a + b )2=a 2+2a .b +b 2

=|a |2+|b |2+2|a |.|b |.cos⁡(a ,b )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a + b |=√7

Tương tự:

|a -2b |2 =|a |2+4|b |2-4|a |.|b |.cos⁡(a ,b )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a -2b |=2√(13)

Quảng cáo

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A

c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Lời giải:

a) Ta có: AB=(1;6;1); BC=(5;-1;1)

AB.BC=1.5+6.(-1)+1.1=0

ABBC⇒ΔABC vuông tại B.

b) AB=(1;6;1); AD=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB.AD=0

⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0

⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3

c) AB=(1;6;1); AC=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB;AC )

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒Â≈400

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các vectơ u(u1;u2;u3) và v(v1;v2;v3), u. v=0 khi và chỉ khi:

   A. u1v1+u2v2+u3v3=0

   B. u1+v1+u2+v2+u3+v3=0

   C. u1v1+u2v2+u3v3=1

   D. u1v2+u2v3+u3v1=-1

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 2: Cho hai vectơ ab tạo với nhau góc 600 và |a| =2; |b| =4. Khi đó |a + b | bằng:

   A. 2√7    B. 2√3

   C. 2√5   D. 2

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

|a + b |2=(a + b )2=|a |2+|b |2+2|a |.|b |.cos⁡(a + b )

=4+16+2.2.4.1/2=28

⇒|a + b |=2√7

Quảng cáo

Bài 3: Cho a(-2;1;3), b(1;2;m). Với giá trị nào của m để a vuông góc với b ?

   A. m=-1   B. m=1

   C. m=2   D. m=0

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

a vuông góc với b khi và chỉ khi a . b=0

⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0

Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ ab biết a(8;4;1), b(2;-2;1)

   A. 1/2   B. √(2)/2

   C. √(3)/2   D. 1/3

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

cos⁡(a , b)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:

   A. 300    B. 900

   C. 600   D. 450

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

AB=(-3;0; -4); AC=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB ; AC)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

BACˆ=900

Bài 6: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi đó số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

   A. 300    B. 450

   C. 600   D. 900

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

AB =(-1;1;0); CD =(-2;1; -2)

Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là α

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒α=450

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vecto a; b. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

   A. a .|b |=|a |.b với mọi a ; b

   B. ( a b )2=a 2 . b 2 với mọi a ; b

   C. |a . b | ≤|a |.|b | với mọi a ; b

   D. a . b =0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

VD: a =(2; -3;1), b =(1;1;1)

⇒|a |=√14; |b |=√3

a) a . |b |=(2√3; -3√3;√3)

|a |. b =(√14; √14; √14)

a . |b |≠| a | . b

b) a b =2.1-3.1+1.1=0

a 2 . b 2=14.3=52

⇒( a b )2a 2 . b 2

d) a b =0 nhưng a0 hoặc b0

Vậy a, b, d sai, c đúng.

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho a(-1;2;-3), b(3;3;4), c(5;0-1). Giá trị của a (b + c ) là:

   A. 8   B. 11

   C. -8   D. -11

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

b + c =(8;3;3)

a (b + c )=-1.8+2.3-3.3=-11

Bài 9: Cho 3 điểm A(2; 1; -3), B(–2; 2; –6), C(5; 0; –1). Tích AB. AC bằng:

   A. -6   B. 65

   C. -19    D. 33

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(-4;1; -3); AC=(3; -1;2)

AB . AC =-4.3+1.(-1)-3.2=-19

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để a vuông góc với b là gì ?

   A. a . b =0   B. [ a , b] = 0

   C. a + b = 0   D. a - b = 0

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 11: Cho hai vecto a; bthay đổi nhưng luôn thỏa mãn |a|=5; |b |=3. Giá trị lớn nhất của |a -2 b | là:

   A. 11   B. -1

   C. 1    D. √61

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: |a - 2 b |2 = ( a - 2 b )2 = | a |2 + 4| b |2 - 4| a |.| b |.cos⁡( a ; b )

| a -2 b | lớn nhất ⇔ | a - 2 b |2 lớn nhất ⇔cos⁡( a ; b )=0

Khi đó: | a - 2 b |2=| a |2+4| b |2=25+4.9=61

⇒|a - 2 b |=√61

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a(-1;1;0), b(1;1;0), c(1;1;1,). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. | a|= √2    B. cb

   C. ab   D. | c |=√3

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: c . b=1.1+1.1+0.1=2≠0

⇒ Hai vecto c ; b không vuông góc với nhau

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có AB=(-3;0;4), AC=(5;-2;4). Độ dài trung tuyến AM là:

   A. 3√2   B. 4√2

   C. 2√3   D. 5√3

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB=|AB |=5; AC=|AC |=√45

cos⁡BACˆ =cos⁡(AB ; AC )

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có: BC2=AB2+AC2 - 2AB.AC.cos⁡BACˆ =68

AM là trung tuyến

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒AM=3√2

Bài 14: Cho | a |=2; | b |=5, góc giữa hai vectơ ab bằng (2π)/3, u = k a - b; v = a + 2 b. Để u vuông góc với v thì k bằng?

   A. -45/6   B. 45/6

   C. 6/45   D. -6/45

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

u = k a - b; v = a + 2 b

u . v =(k a - b )(a +2 b )=k a 2-2 b 2+(2k-1) a . b

Ta có: a . b =| a |.| b |.cos⁡( a ; b )=2.5.cos⁡(2π/3)=-5

u . v =4k-2.25+(2k-1).(-5)=-6k-45

Giả thiết: uv vuông góc với nhau ⇒ u . v =0

⇒-6k-45=0 ⇔ k=(-45)/6

Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a=(x;2;1), b =(2;1;2), Tìm x biết cos( a , b )=2/3.

   A. x=1/2   B. x=1/3

   C. x=3/2   D. x=1/4

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (-2;2;-1), B (-2;3;0), C (x;3;-1). Giá trị của x để tam giác ABC đều là:

   A. x=-1   B. x=-3

   C.Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải   D. x=1

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(0;1;1); AC =(x+2;1;0); BC =(x+2;0;-1)

Tam giác ABC đều ⇔ BACˆ= ABCˆ=600

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔(x+2)2 + 1=2⇔(x+2)2=1

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 17: Cho hai vecto a; b tạo với nhau một góc 600. Biết độ dài của hai vecto đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vecto hiệu a - b là:

   A. 15   B. 5

   C. 75   D. √(75)

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: | a - b |2=( a - b )2=| a |2+| b |2-2| a |.| b |.cos⁡( a ; b )

=25+100-2.5.10.cos⁡600 =75

⇒|a - b |=√75

Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC với A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB ; BC ).

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(1; -1;0); BC =(8; -5;3)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC có A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

   A. 450   B. 600

   C. 300   D. 1200

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

AB=(-3; 0;-4); BC=(7; 0;1)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒(AB ; BC )=1350

Bˆ=450

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=4; m2+n2+p2=9. Vecto AB có độ dài nhỏ nhất là:

   A. 5   B. 1

   C. 13   D. Không tồn tại

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: OA = 2; OB = 3

AB≤|OA-OB|=1

Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB.

Săn shopee siêu SALE :

  • Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
  • Biti's ra mẫu mới xinh lắm
  • Tsubaki 199k/3 chai
  • L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp