Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể - TOANMATH.com

Bài ghi chép chỉ dẫn cách thức phần mềm tích phân nhằm tính thể tích vật thể (gồm vật thể số lượng giới hạn vày những mặt mày bằng và vật thể tròn trĩnh xoay) trải qua lý thuyết, công thức tính, công việc giải toán và ví dụ minh họa sở hữu điều giải cụ thể.

Kiến thức cần thiết nắm:
1. Thể tích của vật thể
Giả sử vật thể $T$ được số lượng giới hạn vày nhì mặt mày bằng tuy nhiên song $(\alpha )$, $(\beta )$. Ta lựa chọn trục $Ox$ sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}
Ox \bot (\alpha ) \\
Ox \bot (\beta )
\end{array} \right.$ và fake sử $\left\{ \begin{array}{l}
Ox \cap (\alpha ) = a\\
Ox \cap (\beta ) = b
\end{array} \right.$
Giả sử mặt mày phẳng $(\gamma ) \cap Ox$ và $(\gamma ) \cap Ox = x\left( {a \le x \le b} \right)$ cắt $T$ theo một tiết diện sở hữu diện tích $S\left( x \right)$ (là hàm số liên tiếp theo dõi biến $x$). Khi ê, thể tích $V$ của vật thể $T$ được mang đến vày công thức: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} .$

Bạn đang xem: Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể - TOANMATH.com

2. Thể tích của vật thể tròn trĩnh xoay
a. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và ko âm bên trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Thể tích của vật thể tròn trĩnh xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay xung quanh trục $Ox$ được mang đến vày công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
b. Cho hàm số $x = f\left( nó \right)$ liên tục và ko âm bên trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Tính thể tích vật thể tròn trĩnh xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( nó \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay xung quanh trục $Oy$ được mang đến vày công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$

3. Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu
a. Thể tích khối nón (khối chóp) sở hữu diện tích S lòng bằng $B$ và chiều cao $h$ được mang đến bởi $V = \frac{1}{3}Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) sở hữu diện tích S nhì lòng là ${B_1}$, ${B_2}$ và chiều cao $h$ được mang đến bởi: $V = \frac{1}{3}({B_1} + {\rm{ }}{B_2} + \sqrt {{B_{1.}}.{B_2}} )h.$
b. Thể tích của khối cầu sở hữu phân phối kính $R$ được mang đến bởi: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

Dạng toán 1: Tính thể tích vật thể
Phương pháp: Thực hiện tại theo dõi nhì bước:
+ Bước 1: Xác lăm le công thức tính diện tích S tiết diện $S\left( x \right)$ (hoặc $S\left( nó \right)$) thông thông thường tất cả chúng ta gặp gỡ tiết diện là những hình cơ bạn dạng.
+ Bước 2: Khi đó: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} $ (hoặc $V = \int\limits_a^b {S(y)dy} $).

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể:
a. Nằm thân mật nhì mặt mày phẳng $x = 0$ và $x = \frac{\pi }{2}$, biết rằng tiết diện của vật thể bị hạn chế bởi mặt bằng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm sở hữu hoành độ $x$ $\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)$ là một hình vuông vắn cạnh $\sqrt {{{\sin }^3}x} .$
b. Nằm thân mật nhì mặt mày phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng tiết diện của vật thể bị hạn chế bởi mặt bằng vuông góc với trục $Ox$ bên trên điểm sở hữu hoành độ $x$ $\left( {1 \le x \le 4} \right)$ là một tam giác đều cạnh là $\sqrt x – 1.$

a. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được mang đến bởi:
$S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{{\sin }^3}x} } \right)^2}$ $ = {\rm{ }}si{n^3}x$ $ = \frac{1}{4}\left( {3\sin x – \sin 3x} \right) .$
Khi ê, thể tích vật thể được mang đến bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3\sin x – \sin 3x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{4}\left( { – 3\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{2}{3}.$
b. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được mang đến bởi:
$S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\sqrt x – 1} \right)^2}$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right).$
Khi ê, thể tích vật thể được mang đến bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_1^4 {\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{2}{x^2} – \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + x} \right)\left| {_1^4} \right.$ $ = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}.$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính những thể tích vật thể trên:
+ Ở câu 1.a vì như thế tiết diện là hình vuông vắn (giả sử cạnh vày $a$) nên tớ sở hữu ngay $S = {a^2}$.
+ Ở câu 1.b vì như thế tiết diện là tam giác đều (giả sử cạnh vày $a$) nên tớ sở hữu ngay $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
[ads]
Dạng toán 2: Tính thể tích vật thể tròn trĩnh xoay dạng 1
Phương pháp: Ta sở hữu nhì dạng sau:
+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn trĩnh xoay sinh vày miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay xung quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn trĩnh xoay sinh vày miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( nó \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay xung quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$

Chú ý: Trong một trong những tình huống tất cả chúng ta cần thiết tìm hiểu cận $a$, $b$ thông qua chuyện việc thiết lập ĐK ko âm mang đến hàm số $f\left( x \right)$ (hoặc $f(y)$).

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn trĩnh xoay tạo nên trở nên khi:
a. Quay xung quanh trục hoành một hình bằng số lượng giới hạn vày trang bị thị hàm số $y = {e^x}$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = 3.$
b. Quay xung quanh trục tung một hình bằng số lượng giới hạn vày trang bị thị hàm số $y = 3 – {x^2}$, trục tung và đàng thẳng $y = 1.$

a. Thể tích vật thể được mang đến bởi: $V = \pi \int\limits_0^3 {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} $ $ = \frac{\pi }{2}{e^{2x}}\left| {_0^3} \right.$ $ = \frac{\pi }{2}({e^6} – 1).$
b. Biến thay đổi hàm số về dạng: $y = 3 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 3 – y$ (cần sở hữu điều kiện $3 – nó \ge 0$ $ \Leftrightarrow nó \le 3$).
Khi ê, thể tích vật thể được mang đến bởi: $V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_1^3 {(3 – y)dy} $ $ = \pi \left( {3y – \frac{{{y^2}}}{2}} \right)\left| {_1^3} \right.$ $ = 2\pi .$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính những thể tích khối tròn trĩnh xoay trên:
+ Ở câu 2.a tất cả chúng ta dùng tức thì công thức vô dạng 1.
+ Ở câu 2.b tất cả chúng ta cần thiết thực tăng việc làm biến hóa hàm số về dạng $x = f\left( nó \right)$ và ở trên đây nhờ ĐK sở hữu nghĩa của $y$ chúng tớ có được cận $y = 3.$

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn trĩnh xoay tạo thành Khi tớ con quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} ;$ $x = \frac{\pi }{2};x = \pi {\rm{\} }}.$
b. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} ;$ $x = 0;x = \frac{\pi }{2}{\rm{\} }}.$

a. Thể tích vật tròn trĩnh xoay cần thiết tính được mang đến bởi:
$V = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x)} dx$ $ = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(\frac{{7 – \cos 4x}}{4})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{7}{4}x – \frac{1}{{16}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi \\
\pi /2
\end{array} \right.$ $ = \frac{7}{8}{\pi ^2}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn trĩnh xoay cần thiết tính là:
$V = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {({{\cos }^6}x} + {\sin ^6}x)dx$ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(1 – \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x)dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(\frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x)dx} $ $ = \pi \left( {\frac{5}{8}x + \frac{3}{{32}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{5{\pi ^2}}}{{16}}$ (đvtt).

Xem thêm: Ảnh nền màu trắng miễn phí

Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn trĩnh xoay tạo thành Khi tớ con quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = \left\{ {y = 3ax – {x^2}\left( {a > 0} \right),nó = 0} \right\}.$
b. $H = \left\{ {y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e} \right\}.$

a. Phương trình hoành chừng gửi gắm điểm của $\left( Phường \right)$ và $Ox$ là:
$3ax – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$
Khi ê, thể tích cần thiết xác lập được mang đến bởi:
$V = \pi \int\limits_0^{3a} {{{(3ax – {x^2})}^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{3a} {({x^4} – 6a{x^3} + 9{a^2}{x^2})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} – \frac{{3a}}{2}{x^4} + 3{a^2}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}
3a\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{81{a^5}\pi }}{{10}}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn trĩnh xoay cần thiết tính là:
$V = \pi \int\limits_1^e {{{(x\ln x)}^2}} dx$ $ = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}x} dx.$
Để tính tích phân bên trên tớ dùng cách thức tích phân từng phần, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{2}{x}\ln xdx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $V = \pi \left( {\frac{1}{3}{x^3}{{\ln }^2}x} \right)\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right.$ $ – \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx$ $ = \frac{{\pi {e^3}}}{3} – \frac{{2\pi }}{3}\underbrace {\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx}_I$ $(1).$
Xét tích phân $I$, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $I = \frac{1}{3}{x^3}lnx\left| {_1^e} \right. – \frac{1}{3} \int\limits_1^e {{x^2}dx} $ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{1}{9}{x^3}\left| {_1^e} \right.$ $ = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}$ $(2).$
Thay $(2)$ vô $(1)$, tớ được: $V = \frac{{\pi (5{e^3} – 2)}}{{27}}$ (đvtt).

Dạng toán 3: Tính thể tích vật thể tròn trĩnh xoay dạng 2
Phương pháp: Ta sở hữu nhì dạng sau:
+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn trĩnh xoay sinh vày miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$ quay xung quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) – {g^2}(x)} \right|dx} .$
+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn trĩnh xoay sinh vày miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi  $x = f\left( nó \right)$, $x = g\left( nó \right)$, $y = a$, $y = b$ quay xung quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) – {g^2}(y)} \right|dy} .$

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn trĩnh xoay tạo nên trở nên khi:
a. Quay xung quanh trục hoành một hình bằng số lượng giới hạn vày trang bị thị nhì hàm số $y = {x^2}$ và $y = 2 – {x^2}.$
b. Quay xung quanh trục tung một hình bằng số lượng giới hạn vày trang bị thị nhì hàm số $y = x$ và $y = 2 – {x^2}.$

a. Hoành chừng gửi gắm điểm là nghiệm của phương trình:
${x^2} = 2 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 1$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1.$
Thể tích vật tròn trĩnh xoay cần thiết tính là:
$V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^4} – {{(2 – {x^2})}^2}} \right|dx} $ $ = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {4{x^2} – 4} \right|dx} $ $ = 4\pi \int\limits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx} $ $ = 4\pi \left( {x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {_{ – 1}^1} \right.$ $ = \frac{{16\pi }}{3}.$
b. Hoành chừng gửi gắm điểm là nghiệm của phương trình:
$x = 2 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1  \Rightarrow  nó = 1\\
x = -2  \Rightarrow  nó = -2
\end{array} \right.$
Thể tích vật thể được mang đến bởi:
$V = \pi \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{y^2} – \left( {2 – y} \right)} \right|dy} $ $ = \frac{9}{2}\pi .$

Ví dụ 6: Cho hình tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {0;2} \right)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn trĩnh xoay tạo nên trở nên khi:
a. Quay $\left( C \right)$ quanh trục $Ox$.
b. Quay $\left( C \right)$ quanh trục $Oy$.

Đường tròn trĩnh $(C)$ sở hữu phương trình: $\left( C \right):{x^2} + {(y – 2)^2} = 1.$

a. Ta có:
Ta phân tách đàng tròn trĩnh $(C)$ trở nên $2$ đàng cong như sau:
+ Nửa $\left( C \right)$ ở bên trên ứng với $2 \le nó \le 3$ sở hữu phương trình: $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} $ với $x \in \left[ { – 1;{\rm{ }}1} \right]$.
+ Nửa $\left( C \right)$ ở dưới  ứng với $1 \le nó \le 2$ sở hữu phương trình: $y = {f_2}\left( x \right) = 2 – \sqrt {1 – {x^2}} $ với $x \in \left[ { – 1;{\rm{ }}1} \right]$.
Khi ê, thể tích vật thể tròn trĩnh xoay cần thiết tính được sinh vày hình trụ $(C)$ số lượng giới hạn vày những đường: $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} $, $y = {f_2}\left( x \right) = 2 – \sqrt {1 – {x^2}} $, $x = -1$, $x = 1$ xoay quanh $Ox$ được xem theo dõi công thức: $V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f_1^2\left( x \right) – f_2^2\left( x \right)} \right|} dx$ $ = 8\pi \int\limits_{ – 1}^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx$ $ = 4{\pi ^2}.$
b. Khi quay $\left( C \right)$ quanh trục $Oy$ tớ có được khối tròn trĩnh xoay đó là hình cầu phân phối kính $R = 1$, bởi đó: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $ = \frac{4}{3}\pi .$

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo nên vày hình elip $\left( E \right):\frac{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \le 1$ quay xung quanh trục $Oy.$

Xem thêm: ÁP DỤNG NGUYÊN TẮC 5W - 1H TRONG TRÌNH BÀY VẤN ĐỀ

Elip $\left( E \right)$ có tâm $I\left( {4,0} \right)$, trục rộng lớn có tính dài $2a = 8$, trục nhỏ có tính dài $2b = 4.$

Ta phân tách đường biên giới của elip $(E)$ trở nên $2$ đàng cong như sau:
+ Nửa biên $\left( E \right)$ ứng với $2 \le x \le 4$ sở hữu phương trình: $x = {f_1}\left( nó \right) = 4 – 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y \in \left[ { – 4;4} \right].$
+ Nửa biên $\left( E \right)$ ứng với $4 \le x \le 6$ có phương trình: $x = {f_2}\left( nó \right) = 4 + 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y \in \left[ { – 4;4} \right].$
Thể tích vật thể tròn trĩnh xoay cần thiết tính được sinh vày miền $E$ số lượng giới hạn vày những đường: $x = {f_1}\left( nó \right) = 4 – 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $x = {f_2}\left( nó \right) = 4 + 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $y = -4$, $y = 4$ xoay quanh trục $Oy$ được xem theo dõi công thức:
$V = \pi \int\limits_{ – 4}^4 {\left( {f_2^2(y) – f_1^2(y)} \right)} dy$ $ = 32\pi \int\limits_{ – 4}^4 {\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} } dy$ $ = 64{\pi ^2}.$